Přepis řeči - Signály a systémy - přednáška 4.

a k já při všem pěkné odpoledne hrozim ně těžší že pořád chodit f takové

množství té do penny super

ještě než začnem úplně tak sako vás příjem na organizační věc

půlsemestrálka e u jsem s ní strašil minule nesem zjišťoval

i zjistil sem takže í lalo máte

někdy vokolo patnáctýho de nás t že i s vo jo máte

okolo jej

čtvrtého páteho jedenáct v

že si nino po do prej nemáte bull semestrálka vůbe s

čtu roztajete všichni

ne ni nama nemáte bosse stránko a všech ně dopr i dostanete zadarmo

a ninu to jsem chytl lukáše sekanina na chodbě prý dvanáctého a stihá stého jedenást

i k

takže i jsem s o co tagle za dva týdny

třicátého kteří na

prvního

listopadu

tak jdi v odiv zděšení já leh žádnou velco vo pozici

tak to prosím vás berte jako dáno

budeme to mít rozděle ne bude s se to konat standardně

přednáškách

e to znamená o prosím jedno polovinou já teď z nevim i sysel do lidi

kteří sou na začátku v abecedě nemu na konci

aby přišli ve středu ti druzí aby přišli pátek výluka probíhá standardně za k jak

probíhá to znamená ve středu ú d česky vpád e k bude anglicky

a samozřejmě protože

nechci v it pes

tak vím že se budete různě jako přebíhá to vek dále tak ve středu si

tu půlsemestrálka udám e na začátku

pro ni hodině přednášky to znamená

šestná straš sed nás půlit enom hodina

a vpád act o v f abych to udělam e na konci přednášky

takže zrubal tři čtvrtě v z na deset hash tři čtvrtě

na jeden s

no a takže ještě napiš o samozřejmě

mail

ale počítejte prosím

s půlsemestrálka u

r třicátého

desátý

ze středa

a tech

prvního

jedenáct v

rozdělení bude tak jak je toho

tak getov informačním

systému

jak že

a no ale vtom aby se

v před a

přednáška v byl

vy já aby ja

tak to mě mu mez není jasný kdo ty kdo ten a má být e

kdo má bit vlastně oficiálně ve středu a do má bit oficiálně pátek

a terry k by vote že to ví té ného ž takhle potřebujete k i

v je tepel

takže pátek má b dcera by ale středu b a je to tak l

takže bíla

ale kdo je v by bo a kdo je v by je to terra nevin

ten na to sou dycky

nějaké utajené seznamy na stran cur studijního poradce take zkusim vyhrabat

ták

je ano první tar je to první hlíně přednášky

to znamená šestnáct vola nula

aleš sedmnáct nula

atari to bod f po ze slední hodině přednášky takže zhruba devět štyrycet pět

a should s r čtyrycet pět

něho výuka normálně

ták

mame za sebou to nejpříjemnější z dnešní přednášky

a od neprosím

lehne prosím i l signálků

takže

minulé sme tady dělali fourierovu řadu

o které jsem mám povídal že bude vlastně takova první metoda bych se podívat ve

spektrální

ve spektrální oblast ně na nějaký signál

uděláme si deko ve

malého páčko

tá s fourierova řada

analyzoval periodický signál

velí má periodu

nějaké velké t jedná

to znamená že má základní kruhovou frekvenci

v je p

lomeno d jedna

a my řekneme že tady dnem periodický signál dokážeme zapsa reko součet spousty

tak z valit s í

harmonicky provázaných složek

ne jí to vlastně nic jiného

ne že řekneme z do bude suma

teoreticky tam nějaká proměnná vlastně počítadlo poběží hod mínus nekonečna

do nekonečna

a vode tam vždycky koeficientík malé

nenápadné komplexní číslo

krát r na je k a

omega

jedna

k té

a my sme si

říkali

že

kal nula bude me takový speciální v znám chtě to bude o vlastně stejnosměrná složka

že k jedna

bude

vlastně udávat základní frekvenci protože vtom exponentu ta rybo tam bude jeden krát omega jedna

t znamená ten signál který běží ne základní

základní kruhové frekvenci

a pro k

se rovná dvě a to jeden a to del

na k to budou

vyšší harmonické tak tomu říkají inženýři nebo vyšší alikvotní ideu vy tam u řekli muzikanti

jo takže vyšší harmonické

no a eště z ne syna k povídali

že vždycky kladný index pude mít sobě kamaráda záporného jinde k sál

takže tady k něhu bude patřit k srovná mínus jedna a tedy v do bude

k se rovná mína dvě a tede a to de fa to del

a že vlastně tá

kladná a záporná komplexně exponenciála když e dáte dohromady

tak nám dají spol ú obyčejnou standardní reálnou kosinusovku

a součtem těch kosinusovek

potom dokážu dost a z takovýhle nějak i složitý harmonicky signál

tohle byl ten začátek kdy jsme se řekli

takhle můžu té mne

který lidský signál rose krát a v zapsat pomocí nějakých tě komplexních exponenciál a pak

sme strávili poměrně dlouho tím

jak zjistit

když mám znát me signál x t

jak zjistit hodnoty tady těch koeficientu ceká

a s n dva berry brož l poměrně dlouho uveď

o nějaké projekci

do bází

a řekli jsme si

těl vlastně když e nějaký signál nemo nějaká funkce

pak máme

to je sich nám bude

závislosti na čase

a k máme nějakou bázi soše vlastně jako nějaký jiný signál of

do kterýho tali tenleten e co ve promítnout boot můžeme říkat že ho do něho

k silem promítnout anebo že chceme zjistit podobnost

tohohle

s tou bází

tak to vlastně musi mělas takže ty dva signály pře plást opře sebe

a provedu tak zvaný skalární součin skalární součin s v obyčejnym a číslama znáte

vezmu si by v a vektory násobím nás o vynásobím na soby na soví pro

to všechno sečtu

a pokru máme dva signály nebo dvě funkce tak to děláme uplně stejně

do znamená pokud chci zjistit

podobnost nebo koeficient

tohodle signálu dtto je to bázi

f k musím ty dva nezi sebou vynásobit

a pak to sečíst a pokud zuje něco s ze spojitým časem tak ne u

ze sčítat jinak nešiď integrálem

podle času

a vypadne miss toho

vypadnem i s toho dany koeficient

no a nebo

můžete na k i říct míra podobnosti

tak a dne v integrál samozřejmě musí běžet

přes jednu periodu

protože je to periodicky signál na nemá cenu labi chtěch period bral deset nebo abych

se o obtěžoval třeba od mínus nekonečna no nekonečna

poslední věc kterou sme si tarif v u to u odvození řekli

dělat a

že ty báze

dyby kdyby ten bázový signál byl reálný tak tou pravdu muž o nechat tak jak

to tady patch leží a běží

u ku ten signál ovšem bude komplexní

a my ho bohužel komplexní máme

tak to musim k dělat jednu estetickou změnu

a tou přidat tady hvězdičku k to znamená na to znamená musím ho brát

komplexně združený s tím f původním

a ještě navíc

bych se měl pohlídat že ty báze

budou takzvaně ortonormální

znamená že dvě různé tvá ze

spolu budou kolu m

a že každá báze bude mít velikost

jedna

tak a co nám ta rys toho vypadne je dyž to udělam konkrétně pro fourierovu

řadu

signál je jasný

to je i k ste

báze je tak jasna l na

je k a

omega jedna t

intel i halina kija sny well o prostě přes jednu periodu

a koeficient je na k je a sny

připíšu dete ráj sem máme na závěr u plným minulé přednášky kde už terra v

u úste trošku po spával ja sou bez neni vím

tak dekl že téhle ten vzoreček eště bude muset proch u přit s a

vště by na i b dvě věci schválně

schválně mám promítnu ten oficiální ktery je tady ji kde přednášce

je ta mínus můj exponentu a je tam jednala děleno periodou

tam zatím nemám

samozřejmě tam dopíšu nechtě by vědět proče tam do pích

takže proč

záporných z naming o

u exponentu

když

báze chodí s kladným exponent f

pro zip

musim komplexně zdrojů vat jeho dyž do té báze promítá a je komplexní

taky aby to fungovalo ve musim komplexně zdražit takže p je no pišu mínus

a back se na eště dopisoval jedna lomeno t jedna to ball kuli čemu

aby to mol normalizované a lagy k který která s část a rito s no

ho slova

or to

not to sem sil pověděl s

a e to že je to or tohoto se na chylku káže na co moh

onom docela zajímavý javě toho je to hnedka hotovi k

takže musí byt normalizované

proto k tam přidávám jedna lomeno t jedna

takže tohleto je slavný vzoreček na výpočet koeficientu fourierovy řady

a když u sem se v ste ráta jí jako natrápil

něco s tou orthonormal i tou

tech zkusim potrápit i sebe

a zjistit jestli vopravdu tali tyhlety záležitosti

o kterých vám povídám jsou skuteční ho ortonormální

čím začnem

o ortogonalitou nevo normally tou

a k normally tam obě dvě bylo v jednoduchých ve to vpohodě

takže or to lo

otazník

or to znamená

že skalární součin libovolných dvou bází pokud o není zrovna ta samá

by měl být kolik

nula

o poku prostě jako ve u mu tu samou vázy tech samu se sebou

tak vy to měl bysom zřejmě jednička ale jiný báze mezi soubo u

by měly bit nula

k takže to že to zkusím o tak

vy sůl jako výsledek

bude integrování

přes jednu periodu

a de chtěl m prostě flák mu jednu bází o druhou bázi

na první bude

k a

omega jedna t

a druhá bude n na je lek emmě zkuste říc nějaký knee písmenko

l je blbý to se tu na bude blbě vidět

štěrk třeba e o ruské

šil

to vypadá stejně jako may dělát včel nebrat

k něja

f měl jsou zase jako dvě netrp noře bo nám pracovat s fi něho no

v něja omega jedna h

tak

podle času

a když to prosím vás zapíšu tagle

tak jsem právě zapsalo l podmínku ortogonality to znamená pokud my součin

v pokud my tento výsledek bude vycházet jako nulový

tak je to vpořádku

chybí a l a mám bodce že dobu že to vydaj kadle že to celkem

jedno

lo dobře můžu

v labi se to dobře počítalo

tak do té budem inky ná ortogonality dám tady mínus

a l von o by to fungovalo y

i bez ně

jo tak o

poďme pod ne počíta takže bys lo bude integra přes t jedna

a teďka e to bude

samozřejmě využiju bůčky že

n na r a krát je na b rovná se tajena applu z b

a vyleze my s toho

hle je

omega jedna

k a

mínus snil

super

ták podle času

tak ty ke mi prosím vás řek je ze teti led nebudeme léku strašně odvozovat

a psát l budem myslet fi luku takže

co může bych číslo k a mínus fi něja prosím

k je cele

k ní l taky cele

co je k minus ně

taky cele že může být nula

může ale je na pokud ty dvě báze sou ty stejne to mně teďka zrovna

nezajímá jeho ne bych chtěl dvě různé báze

takže budeme vědě řek mínus měl

je celé číslo které neni nula

na se nějak zrušit arit n devil dole

jo byla

já bych strom z nad osad epilepsii za ji je k of polovině přednášky

tak

prosím vás máme tady signál

tohle ta je celé číslo

e na j omega jednat krát celé číslo

co to je

kdyby to cele číslo byla jednička take k na je omega jedna t je co

minule sme z o tady měli je ho měli jsme tady komplexní lahev

je to komplexní exponenciála která a udělá přesně dnu otočku

za jednu periodu

l perioda signálu je t jedna

kruhovou frekvenci jsem spočítal

nako dvě pí lomeno a to je jedná to znamená

jedna otočka za jednu periodu

když to nebude jednička když to bude něco většího nešije dna anebo menši jo než

mínus v jedna

ještě někdo další k i

co to bude

no já vlastě tech obecně exponenciále z rychlým čas

takže ta komplexně exponenciála za jednu prioru neudělala jednom otočku

ale může lenku dělat třeba štyři lo proč kino ho pět

v co dyž to číslo víde zápor ne z u dyž tam bude kra mínus

patnáct

takých udělá patnás u to check a pojede na opačnou stranu

ale co je prosím vás z velice důležité e

že těch o to check bude vždycky celý

počet

dal vždycky celé číslo

znamená když si do

kdy že si přestavím co sedět a k they tohle té reálna osa

letové d imaginární hlasoval

tady bude jednotková kružnice

a pizzy na ni přestavte bot

který je na je

omega jedna p krát nějáké cele číslo

a ten bot putuje okolo ne o kdyby to nějaké sele číslo bylo jednička o

to uděla led lev rhone

když šel to bude mínus patnáctka tak tour e

ně to takové a l a skončím zase tarif tomto

bodě

a té ně prosím vás řekně té jaký je součet všech těchto čísel

po dobu

nebo o z jednu periodu

vřed při stat jestli takový vy e takový fyzikální pokus

e a té nějaký pro kroužek papíru který ú prostřed

pověsit e na ní k

lvi kam té stříkačku z lepidlem

a takhle prostě objíždí tepen kroužek a by plic v teta na prostoru no měrnou

stop ú lepidla

a aby chtěl vědět když to otáčku dělat e jednu u

jaký bude součet kdy bude těžiště toho proužku

stalo uprostřed o to znamená součet všech tady těhle čísel

tree dek mléko visla kamna na tu jednotkovou kružnici

bude kolik

moje nula

l to sou v act můžete s je v sestavy jako vektory d že všecky

sečtu dek tubu je nula

co je dyž tou stříkačkou obědu u ten kroužek patnáctkrát

pořád nula a u když to udělám šedesát krát v opačným směru a k pořád

nula to znamená velké když tě ní prosím vás

tento velky slavný těžký integrál

je vola

no ku

klel

ne rovná se ně

ale a my sme tali tímto právě dokázali ortogonalitu

můžete si tom prosím vás zkusit í matematicky můžete si zkusit uděla teko opravdickou v

integraci

hledání primitivní funkce odečítání dvou limitu a tak dále

ale na tomhle příkladu si mysim že je to že sov mém jasnější tak

normalita

hledala

hledám vlastně velikost

k té báze

za dobu jedné periody

l velikost

bál ze

během

jedné periody

a to udělam tak

že si prostě vezmu absolvují integrál pojedu přes jednu periodu a budu integrovat

ryana je

k a

omega jedna t absolutní hodnotě

během jedné periody

kolík je

absolutní hodnot s tohoto nepříjemný ho nechutnýho výrazu

well

asi vás je tam e n na jej něco

a i židy i kdybyste se k o rozkrájely a za něco ho dost sadile

jich šedesát pět milionu

ta které na je šedesát pět milionů je kolik

oku nevíte

uvědomte si že čísla a n na je něco

leží na jednotkové kružnici

a absolutní hodna ta

jehle čísel i kolik

jedna no takže z ně se tady tenle stráž ně složitej výpočet

redukuje na integrál cess jednu periodu v jedničky

odle času a to vy s na mohli zvládnout

kolik to e

to a jet

ta jedna perioda j o mám prostě konstantu jedna kterou v integruju pod obuj jedné

periody takže je to t jedna

takže tady vidíte že velikost báze za jednu periodu

je přesně délka tady tehle té periody

což není zrovna to co sme chtěli

a proto se vtom počítacím vzorečku

pro koeficienty fourierovy řady

všechny báze vlastně normalizují ták

abychom tady

z bude tam

dělení tou jednou periodou

tak ta by jejich velikost byl á jedna

aby ten celý systém byl

or to normální

tak výborně

takže to bylo tak o ve opáčko možna luna neco proch o nového a poďme

zpátky k led ne zpátky do přednášky

my z vlastně takhlek o sedneme za integrujeme si a teďka zistím e

jaké hodnoty koeficientů c mínus nekonečno of

a šestce nekonečno

přichází další úkol

jak ty koeficienty zobrazit

dob někdo vám řekne tak teďka by chtěl nějaký pěkny obrázek

tak jsem s ním

musime si uvědomit že ty koeficienty budou sedět na určitých frekvencích ke každemu koeficientů vlasně

budete odpovídat

určitý násobek

základní kruhové frekvence

a eště navíc si musime uvědomit že ty koeficienty budou komplexní

do znamená

komplexní papír se dost blbě kupuje

komplexní monitor tak if

kos těžko takže budeme muset něco jed něco dělat

budeme k ty

koeficienty terry zobrazovat na násobcích ke základních role frekvence

a z v len to může jsou to komplexních čí kladech si mu bude o

a mu sedu děla dva obrázky

a do prvního budeme kreslit je k modul

a do druhého budeme kreslit erich argument samozřejmě bychom to mohli udělat i tak

že bysme do toho prvního třeba dávali reálnou složku a do druhýho imaginární

ale k si inženýrská z v zvyklost je s modul argument

jak tomu celýmu bod již i vkreslen na určitých frekvencích po si brzy zla mete

jazyk

takže tou budeme velice kráse říkat spektrum

jo prostě reprezentace toho původního signálu ve frekvenci

se budeme no meno what spektrum

ale dám jsi pozor na to

že spektrum vtom to případě

co u vlastně polohy

a od no ty koeficientu

o chvilku později

a šum vidíme fourierovou

transformaci

tak to spektrum bude funkce

o chvilku později když budem analyzovat i diskrétní signály na k to bude v eštěs

o jiného takže si no

ten pojem spektrum budeme dávat trošku pozor

ve to vlastně ve kovy generický

pojem který může potřebou o v obsahovat

různé věci

tak

poďme tetě prosím

ná dva příklady

kde si ty

koeficienty ukážeme to znamená

první věc

jaké sou koeficienty fourierovy řady

signálu pětko sínus sto pít e

schválně

ktere ten ne

že klad uděláme vedle

takže hledám koeficienty flóře l

této záležitosti

read

znám a

vzoreček

že kosinus něčeho

se rovná a je na je u něco plus e je na mínus i je

ta něco

to sela děleno dvěma takže zasednu

a tu po sinusovku si tak nepěkně loze píšu pude to dva a půl krát

j na

sto pí t

plus

dva a půl krát e na mínus i je sto pít e

a je sto halas i patrné že v základním kruhová frekvence tele záležitosti je sto

pí

radiánu za sekundu děl

tetě kdybychom byl if

pilní a hloupý

tak začneme integrovat

ale z led m to může z ne líní achy tři

tak e si vedle tou ho napíšeme definičním vzorec

fourierovy řady

a u budeme hledat

takže takhle vypadá z ty s fourierovy řady

celé kala krát n na je k a ne mega

jedna t

tak a když si srovnáme ten modrý vzoreček s tím černým

tak dáva nám do trochu smysl na vonné najdeme tam nějaký členy

abych řek že celkem jelo

o protože

tady by stačilo si zapsat jedenkrát

na ryby stačilo si napsat mínusy jedenkrát

znamená je jasný že stuje sumě se budou od objevovat pouze

členy pro k se rovná jedna a k srovná dvě

a bude to asi ták

že

je tam

přesně to co mám tady navrchu to znamená dva a půl u

krát

a e

jeden krát

sto pít e

prno ného todle není minus to je

veky jak i si artefakt litery z byl

plus dva a půl

krát r na

ninu s jedna

sto pít e

jo takže tady naprosto jasně vidím je todleto je vlastně

e na r

je jeden krát omega jedna t todleto je r é na mínusy je jeden krát

omega jedna t

znamená že to co stojí vedle

asi budou přímo hodnoty koeficientu ve že nemusim nic integrovat

prostě todleto v c jednička

a tohleto je c mínus jednička

jo a

koeficienty sem našel ale eště nevo u odejít do své oblíbené restaurace

protože dalším u kolem je ty tou k od f koeficienty nakreslit

takže zasednu měl si dva obrázky

vodorovně budeš dycky kruhová frekvence

svisle

bude tady modulu koeficientů

a tady bude argument koeficientu hala i když ty koeficienty sou normální krásně rám í

čísla

tak obecně bohužel můžou výt komplexní takže musim s nimi udělat s rozloženi na modul

argument l bude to hodně no duch

ten plus tý koeficient se zjevuje na kruhové frekvenci stopý liánu

pro sekundu a ten mínus t

je na mínus sto pí radiánů za sekundu

no a už ně zbývá jenom poznač i teich moduly

argumenty takže prosím modul

číslá dvě a půl že kolik modul neboli absolutní hodnota

k v jednoduchej o dvě a půl

to druhý číslo u bulle me stejný modul takže tohle to je hodnota v je

up ú

a teď prosím jejich argumenty

wish si terry tyto čísla přestavit f komplexní rovině jakej budou mít úhel svírající

s reálnou ho sou

ran já mim že to jet

do byl ní představa sip přestavovat

reálný čísla s komplexní rovině lem bohužel musim

jo tady toto číslo v je a půl ú

jaký je jeho úhel

svíraný z reálnou osou

nula

molo by to by tečně s o nech jiných ho national o

vhodím bo vás křídu

hra je se i se nesmí používá stupně felu l předmětu

z řek je ve měr v je p

ano dvě k p ve že libovůli násobí dvou pí

zůstaneme u nuly protože to vypadá rozumně ale kdybych tam dal čtyřicet osum p

ú sice budou vyprané k báze ale bude to dobře no tak že tady toto

ne je výsledek

koeficienty a jejich zakreslení

ták e

další příklad

koeficienty fourierovy řady

tohodle signálů

ták pokud zase za sednul a přepíšu ho tečnou sto vezmem vo něco rychlej

tak dostanu dvě a půl

krát e d

ná

sto pít e mínus pí čtvrt

plus

v je a půl

e na mínus i je

sto pít e

mínus pí čtvrt

no za z o zem použil panny v sami vzoreček jako no hoře

tohle ještě docela dobrý si

upravit alla jak se mám říkal minule oddělit si též živé části lod mrtvých části

ve znamená konstanty nut pryč l o tu o přes tich věcí který se hýbou

s časem

takže tady bude dvě a půl je na mínus i je pí čtvrt

krát

n a je

sto pít e

plus

ne já půl

chrát na plus

je pí čtvrt

hrát a n a mínus i je

sto pít e

já a zase

když se tech podívam na

definičním vzorek s

k to je

fourierovy řady ja to hnedka ram zpátky neboj tell

a krad z dovolením si

děla to co vy nemůže tech sešitě za to mě licky studenti svorně nenávidí

k tohle to jede finish ní vzorec for řekl

a já vidím že jsem zase do stál

komplexně exponenciálu pro k se rovná jednal

komplexní exponenciálu pro k se rovná mínus i jedna

a to celý co je vedle toho

asi budou

korsice hledané koeficienty folie fourierovy řady jo takže

tohle

je c jednička

a tohle

je c mínus jednička

tečku vidíme

že ušlý to sou v opravdický

komplexní čísla

takže další úkoly je si je nakreslit

tak se do to o dáváme

moduly

argumenty

já se sem slušnej kluk tak si označím po si tele je kruhová frekvence

tohle budou mu doly koeficientů dcery k a tohle budou argumenty koeficient unce k a

a v zase budou sedět na kruhové frekvenci sto pí

a ten druhej na

mínus sto pí

kolik bude jich modul

mu dolu čísel dvě ti zbudou čísla dvě a půl krát a je na mínus

i je pí čtvrt

kdo si není uplně jistej

tak si tohleto číslo

namaluje do komplexní roviny

toto není jednotková kružnice ale té dvou a půl ková pružnic e

a do číslo dvě a půl krát e na mínus i je pí čtvrt bude

ležet s tady

no znamená je jasný že jeho modulu bude dvě a půl

druhý čísla budé ležet proti něm ú

a mých taky motol dvě up u

no a jejich argumenty

budič odečtu s obrázku a nebo se podívám do exponentu co sedí vedle toho je

čkat f je na je něco tak to něco je argument

takže jasný že ku toho kladného koeficientu

ú de

mínus pí čtvrt

a who

to druhého

to vone pí čtvrt

a sem tady

sou to úlohou hotov

měli bychom taky zjistit nebo zkontrolovat jestli ty dva koeficienty sou mezi sebou komplexně

združený ne

proto žáby to dával u dohromady reálnej signál tak musí být

jsou tady tyhle dvě čísla

tohleto

a tohleto

komplexně sdružen i

ne o co platí pro komplexní sdružení robu moduly musi být string i ano co

v u

argumenty musi bych opačných ano psou sou komplexně sdružen a

pohodě

ta k

který máme za další příklad

jo a

mann tady to že si můžu zkontrolovat na tomhle příkládku

že z ne si řikali pokud i je nějaká kosinusovka

která je zapsaná jako

c jedna krát kosinus

omega jedna t plus fí jedna

v že ta se vlastně rozpad n do dvou komplexních exponenciál

a ta první

bude mít koeficient

terry bude

cely jedna půl krát e na

je fí jedna a ten druhý

bude cen jedna půl

hrát n a

mínus i je fí jedna

hle call

že do si na to pamatovat rome vzoreček

ale je dvě nás i mysim že

v je mnohé

možná s naší

fi chvilku

měl něco ne trku zapsal ta a odvodit cit o

veš si věci po matovat po mně ti

dobry ta de toto máme uděláno

tak a which to vám e třetí příklad kerý vypadá velmi na nápadně les trávíme

z nim s nim aspoň hodinu

a možná že si konečně za integrujeme

jaké sou koeficienty fourierovy řady

periodického sledu obdélníkových impulzu

a vlastě takovéhle

obdélníky

každý z nich má délku th trase se musel dlouhou či co to ji to

řecké písmenko znamenal

jednom ku send a je měl je řeckého kolego nebo kolegyni jatý mě řek ešte

říkam špatně že toff cets c ta vo něco takového f po koni do umíte

dobře z doře retz kytek

je prosím opravte

takže šířka každej of těch i pulzu bude c ta

jejich výška bude d

a budou mi periodu t jedna

well takovy docela běžný

signál

se kterym

zvláště call informatici k měrně přesto pracujem

ano budeme chtít urči koeficienty fourierovy řady

takového hle

terry lidského signál

tak k tomu abychom tady tenle příklad zvládli

úrove potřebovat dva takové dva dvě přípravné práce

za prvé si něco povím o této pěkné funkci

trase kardinální sínus

kardinální sínus i je funkce která

redefinována jako si nos k x lomeno x

with že

základní si know s

vypadá nějak takhle vlastně

byl by stále

stále ve stejných velikostech

u could dodíváme funkci si nos x lomeno x

tak na bude postupně do vo dóm mínus nekonečná do plus z nekonečna vy zdechá

what

pro j se bude v dělit stále větším a větším číslem

a zhledem k tomu

že ta riga funkce není definovaná pro i k se rovná nula

že bys to ta je dostavi nula lomeno nulou

a to neumíme

na k si to

pro ten nulový bot natvrdo dodefinujeme

na řeknem prostě boom bude to tam jedna

a ta funkce bude vypadat potom tagle

někdy se jde k i říkám x icky klobouk

push testo přes to je k o sombrero které si

narazíte na hlavu

je důležité že ta funkce bude procházet nulou tá

kde procházela nulou původní funkce sínus

no je spisy

popt pamatuje tak sinus

má periodu dvě pí

tady je hodnota p

trie mínus pí

výnos dvě pí a tady dále a tak dále to znamená sínus prochází nulou pro

všechny násobky p

podobně jako u kardinální c nos

a poslední věc prosím

pokud si by vy ste chtěli s touhle funkcí hrát matlabu

tak tam najdete funkci syn cell

kardinální sínus

ale

opravdu velmi důrazně upozorňuji na to že je s matlabu má ta funkce push sobě

zabudované

násobení hodnotou p

no a o to znamená

matlabu je definována jako si no uspí x

ho meno p x

takže je pokud budete chtít použito s funkci v matlabu tak klidně můžete

ale předtím

před tím si

uděl té hodnot if které tam bude ve strkat hodnotou p

oval je můj vektor

takže k reální sínus můj vektor

před tím z něho oddělejte p

tak aby po vynásobení p v matlabu a to dalo

přesně to co chcete

tak tohle bude lo bylo zavedení funkce sinus kardiální zatím na mě může to je

k o kouk a do jak zjara

jak je to vztažené k tomu cur v k tomu sledu obdélníkových impulzu ale nebojte

se dojde k ní

druhý

přípravný krok který bude mne potřebovali tak zvaná šebestová komus k a

a procesor šebesta mě učil signál ne na elektro fakultě

ta tě že toff starší plán du chodu ale na přednáškách na nadefinoval ta je

tuhletu shaw pro

a tady se jednalo následující k

za chylku vidíme že budeme potřebovat integrál

o ty nějaké konstanty mílu zbyl do plus byl

s punkce

n abych k na plus nebo mínus

to je celkem jedno je x y

podlej y

a tehle ten integrál budeme muset počítat každou chvilku takže se to tady uděláme obecně

a uděláme si na kovy vzorec ktery na vlastně

řekne ja kuš to jednou provždy

push to jednou provždy dál dělat

no takže tady trit si masně odvodíme shaw pro jo

u roven počítat

ten mhle ten integrál

od mínus b do b s n a je

plus tnou mínus x y podle y

a teďka by musim ho u pravdu na integrovat

takže při uvědomíme že když mám at spočítat takhle nějaký určitý integrál tak musime najít

primitivní funkci toho výrazů vevnitř

dosadit horni limit mínus dosadit

o dni limit e o a k pojme na to

e k je primitivní funk se toho e ne

it at se a tam pro jednoduchost nechám enom plus kov o

a vy vám sto nepletla

to sami ji že o takže na je

v x y protože o primitivní funkce n a jej něco nebo a n anně

celo jet to stejny

lomeno je i k správně protože po o z derivování podle y umu se mi

tam ještě vobjeví derivace té vnitřní funkce

tohle to dělení s toho vyhodí pryč děch u rod že toto je f tuto

je primitivní funkce

rasy budu muset vyhodnotit vod mínus byl

do byl vtom e to dycky z vo ram takže trošku dolu zábavné

n a

je x b

lomeno

je x

mínus

n na

mínus je x b

lomeno taky je x

co s tím dál je to poměrně nechutně vypadající vlnné s

a my sme někde je možná viděli

že si je nohu s

half a

byl na je alfa o

mínus

na mínus je alfa l

v lomeno dvěma žel tady tohle nějaký jako standardní vzory check který v bučí známé

s tabulek nebo si ho dokáže

tak že odvodit

a vy by jsme hrozně rádi s toho takovýhle sinus ú dělali o vy aut

s tam ty asi

jeho byla děkuju

to ste hod hi protože best e vy to

obec nefungoval díky ad

dobrý takže poďme zkus i tady ten modrý vzoreček příte sat

do formy toho

toho červeného

je viď z b

mínus e na mínus i je leak z b

lomeno

a teďka to its koz dovolenim dam dám před to tím se zatím no budu

zabývat

lomeno je čkej m

tak

jak to vo

při cell jsem je do či to tell do jmenovatele

ho to vyřešeno takže tenleten vzorec

na najednou data krásný sinus

e a to hodnoty m x

takže

mu ne to rovno

v dvě momen o x

sinus

b x

tu pror

se má poslední v jestli že pick a jsem vám bylo žil co to kardinální

sinus

a já bych ho s toho hrozně chtěl ú dělat

l takže v já bych nechtěl synu z b x

lomeno x

ale synu z b x lomeno b x

co v a udělat

prostě za při psát

šel

a je ta

ten na k že najednou dostávám a

s tohohle

ve ordinální sinus

ad tajemně zůstal nějaký zbytek kterýmu si mops a takže to prosím bude dvě b

krát

kardinální c nos

ne i k

a toto je prosím výsledek

a sem právě

spočítal

masně ok obecnou magickou formu luku

pro počítání tohoto nepříjemného čte grál

do fall že sem do udal dobře lály jestli že jo

ták e poďme prosím pokračovat

vejť se navrátím m

a zjistíme co z ne to vlastně měli dělat jo

měli jsme počítat

fourierovou řadu

triadic k ho sledu

obdélníkový impuls z u

r mají periodu t jedna

šířku mají ten e ta

to znamená v až d tady ten prvním polu zvali jód mínus ta je ta

půl

do té de ta půl

výšku tam wish ku to má d

ja a já teď zasednu a opravdu si napiš ú definic i toho jak počítám

koeficienty fourierovy řady

to znamená

jedna lomeno trioda

integrál

přes jednu periodu

tví to co ja ustu tam rovnou napíšu

pojedem aut mínus

půl o viny periody

do ho plus poloviny periody

a tam bude i k ste

krát n na

mínus í je k a omega jedna čte

podle času l to že jsem naprosto a tvrdo zapsal definic i

jak se spočítá koeficient fourierovy řad

praga teďka se začneme koukat na signál a zjednodušovat si život

takže prosím

odkud dokud

bude mít cenu integrovat

teoretickými to pravý že not mínus to jedna půl to t jedna půl

a to cen o

nač n

jasně tady jsou nuly

v s tím že v je sur í zatim nebude mě z dělat a l

mnul i nemá cenu

brat do úvahy takže h si vpohodě ty integrační meze posunu bo

sem a sem

a budo integrovat jenom vod mýho s ne ta půl do té tap ú

jaký bude vtom hle intervalu signál

ne je nulový ne tell

velni rom konstanta bude to prostě déčko tého enom hodnota byl nic jinýho

k takže

pusy klidně vyhodím před integrál

no protože opravdu to bla konstanta a zůstává mě integrál o tu mínus ten at

a půl

do to je ta půl

jenom té vnitřní funkce je na mínus i je

k a

ne vnitřní funkce jenom té komplexní exponenciály pardon

ste

podle času

já o a teď jsi vzpomenu že se tady před chvilkou

vymyslel

vše beztoho pomůcku

e ne to bude hned s hnedka tram sklad k a vy že vás čtu

to je tím přepínáním ale

tato neumim i na k

tak

vymyslel jsem šebesta ně pomůcku ktera

vypadala následovně

já jej srovnám s tím co mám pit počítat

a zistím

že to samozřejmě sedí jak by taky n jinak bych

to ta je vůbec nedělal žil

takže pod ne si rychle uteče bys to vivo mužsky

zjistit co je co

tahleta konstanta bo

a mínus byl bude asi té tap ú jo bodl se rovna

ta je tap ú

proměnná podle které integrujeme

y je co

hall

čas téčko y se rovná tell

a ten zbytek

x je co

podivejte se do exponentu toho éčka

jíl a nechci zda minku nechci pil tak ji nechci je co tavby v a

k omega jedna no k mi na jedna takže jet toto je po to z

by v a

a dyž sem z lag nepěkně dosadil de vo šito že best o vo mu

s ku můžu

na psát to znamená co je k a

bude teďka nezapomenu vy tu konstantu

to je potom o zle fungovalo takže de momen a t jedna

pak tam bude

dvakrát v b

jo dvě bo

to znamená dvakrát čte h ta půl to je to je ta

krát kardiální c news

up kardinálním scene u bude b je

takže t je ta půl

krát

x a to je k u mega jedna

jo takže

o to vo

já jsem právě dostal

vzorec pro výpočet kátého koeficientu fourierovy řady

a teď máme dvě možnosti

možnost

nech čí a těžší

v lehčí možnosti

rostě vezmu

hodnoty které mám to znamená já znám šířku jim pulzu tede ta znam n

pery je du t jedna

známek je to ve leaky

pro tam dosadím

nechám káčko valit v nějakých rozumných mezích třeba volt minus dvaceti do dvaceti

vrazim to všechno do excelu nebo

do matlabu za to čím klikou nějakého v bych vypadnou s toho nějaké hodnoty koeficientu

i zobrazím a odchází

v mimochodem jaké budou ho na ty těch koeficientu

jak i to budou čísla

c k budou reálný komplexní

v roh reálny že a

vy si ty si to že je to dobře je že měli vítr i

pozor to že j reálný signál eště nezaručuje že koeficienty

fourierovy řady

budou reálny před chvilkou sme tady měli vo kousek posunutou kosinusovku ktera byla krásně reálna

a je ji dva koeficienty byly komplexní

samozřejmě komplexně združený ale byly komplex í

tady mám

koeficienty ktery zřejmě sou reálny k

k eště moc nevím je s je to dobře nebo ne

a l java s trošku navedu

ten signál který tady máme k analýze

je jsou měrný je tak se do u říkala tého testy sudých de

a případě těchdle těch signálu

ty koeficienty

vždycky rány vycházej pro takže tohleto budo dobře

takže to řekl jsem o první metodě

že to dá k o vezmu hodnoty těch

k těch konstant

nasypu to vy kreslím

těší metoda je zkusit si to všechno udělá zruč u

tak mi psal uzel ně pod m je těžší cestou

a náš po přestávce ž

sedu minut přestávce

tak prosím pod dle pokračovat

stát k dostali zle magickou formou ku

ná a počítání

koeficientu

fourierovy řady

takového periodického s led obdélníkových impulzu

a zbývá nám eště jeden zajímavý u call

atol zkusit je nakreslit

takže poďme

po něm prosím teď i na to

jet se tarif tyto koeficienty

pokusím nakreslit

no a u zkusim to best kalkulačky bez matlabu naprosto beze všeho

jenom tím že se podívám že tam asi bude probíhat nějaká funkce

kardinální sínus

atari tato funkce bude určovat e

od no ty

jednotlivých

koeficientu

fourierovy řady

tak

poďme prosím vás i napřed uděláte kov takové zjednodušení

udělá vlez i funkci která se vode jmenovat o moc

a ta von se pomoc

závislosti na frekvenci

bude úplně stejná jako ta původní to znamená bude tam de ten jedna hled alla

kardinální sínus

ta d ta půl to na česko bude

ale dita tam nebudou žádne násobky nějakých frekvencí bulle tam normálně kruhová frekvence

probíhající jód mínus nekonečna v a nekonečna otto že bude to pro nás s pomocná

funkce

která bude definovaná pro všechny kruhové frekvence

a v to je že já stary vyžíval používání těžkého kulometu

takže po ottou to pomocnou funkci e k jakmile ji budeme mít hotovou

na střílíme polohy koeficientů

který budou sedět s na násobcích základní kruhové frekvence

a v vy plníme si vlastě takhle hodnoty

i inte víte fits je lo takže

jediny rozdíl pomocné funkce v othello co tají máme před chvilkou je

že dam není žádný kal omega jedna

ale že bude kreslit pro všechny možné lov jak lence

track

kardinální sínus

co jak of už hod a klič vo

titanem je t za z bliká v

fi když nové windows i

takže přes kreslim si prosím dva a obrázky

jeden bude

pro

modul

punkce pomoc

druhy bude pro argument funkce pomoc

a s tady bude

pro vás frekvence

omega

t před tím než eštěs ovaž no vyrábět a dybych sem ho

namalovat tekou funci kardinální c nos

rabu do vypadat tak bille

měl

a ste tě zač no tu pumu si kardiální sinus trošku přitesána what

a upravovat

ták s puste mi prosím povědět

jaká bude tady tahleta maximální hodnota

funkce pomoc

co je nula ne macha know vlastě v volat i bude ale je to ta

konstanta která sedí vedlé funkce kardinální sínus ho takže ta lid no bude

r ta t jedna a dořekl je to v u je c nula do to

řekl dobře

k tomu za chylku dojedem ale hash po použití těžkého půl o metu s

ve že tohle je konstanta

d to je ta lomeno to jedna

kde budou umístěny hodnot e kdy ta pomocná funkce

budo pro se káva t

frekvenčního su dobu ne nulovat

po ho nevím

a když to nevím tak jsi to vypočítám že to znamená a vím že toto

nastává když hodnota argumentu

bude p

a jeho násobky ho pack si to podnes počítat ta j ta

půl krát a omega

rovná se p

s toho mi vypadne will to bude pro p set pro omega se rovná dvě

pí

lomeno t ne ta a potom samozřejmě štyri pilo b na té ta šest piv

amen a té ta a todl a to de l takže tali tato hodnotou bude

dvě pí lomeno ta je ta

štyři pijí lomena té ta a tak dál a tak dále

mínus dvě pí amen a to je ta

ninu s štyri p lomena t je ta

a to de a to de

k tak

teď mám l e

tu funkci

kardinální sínus plácnu tou v jednom obrázku

ale

mám s ti trochu problém protože abych i potřebovalo rozhodit

mu dolů

a do argumentu

znamená musim do to funci rozložit

na absolutní hodnotu a na úhel který patřičné číslo svírá z reálnou osou d ho

namaluju do komplexní rovy

tak pro ty kladný

úseky

dobu rasy pohodě že lo protože tam a

absolutní hodnota je toto ježto to číslo

jaké budou prosím vás argumenty

ve funkce kardinální sínus

tam kde má kladné hodnoty

wish máte po

pět korun

a vyjádřit e to komplexním číslem jak i to má argument

nula správně pro takže chtěj hle těch úsecích

budou ty argumenty nula

a funkci tam nemusim je z děla

chtěch záporných úsecích

samozřejmě neplatí

ta com o dolu nemůže být záporný hill takže je to funkci musím převrátit pěkně

nahoru

za touž to ví kde pěkně hnusně už to vy nim pivka tak a teďka

v prosím vás

jak to rito to vyjádřit argumentem

jak vyjádřit argumentem

to že máte dluh pět korun že what e mínus pět korun peněžence

tak zase kdo ho sid do ta nedává z hlavy

tak si namaluje komplexně rovinu rána laos a

imaginární a s a

pět korun

j jasny že má argument nula

a mínus pět korun

cože

takovýhle vektor má argument kolik

koliv

p a nebo

k p ne

ega pivu z jedná dobrý tak zůstane u těch základních já se tam už u

otočit boot vrchem

tomhle případě je to p ale nagy se ta můžu otočit spodem

a tom případě idol míro spí dal pořád mám těch same jich

dluh pět korun

ale může tam i z vlastně kladným úhlem nebo záporným uhlem

ták

aby si teču uděláme

na sem daří gay argument rock r sil blbě jak to že ne křičíte

a že ni

vy sto vůz na křičeli jane slabě

ho typ ty nulový argumenty se měl nakreslit

kde je ta funkce by v a

kde ta funkce bull a kladná

k k

ste čin na značení argumentů byl a

těch původně záporných částech si můžu vybrat jestli to voleb uspí no mínus pí

tady jel zase k o dobrá lek o v a domluva

že pro kladný kruhový frekvence

si tam dáme hodnotu plus pí

applu záporný pro záporný kruhový prve frekvence

na dáme mínus pí

alu bude to vyloženě s estetických důvodů o klidně můžete nut

plus pí plus t

nebo mínus pí mínus pí bude to fungovat pořád stejně

l aby to bylo hezký

tak já dává

mínus pí

a plus pí

a l x m říkal u že besed o udělát

ja chcete o pan by samozřejmě tahy to pokračovalo ta se plus pí

ray top dito pokračovalo zase ninu s pít a to de a to dat

tak a teď s prosím přicházej chvíl pro rotační kulomet

kdyb odtud o pomocnou funkci

budeme střílet

frekvence

na násobky základní kruhové frekvence

k a u mega jedno

až dycky tam kde visty tam kde se trefí ve

tak vytáhneme

nakou hodnotu hash do té pomocné funkce

a toto bude hodnota našeho koeficient

peer asi začnem tím rota čáp jem střetly dalo

do o k se rovná nula

takže to bude boom tady

a bo um tady

a toto o bude

určovat

od no to koeficientu c nula

c jedna

bo um c dva

bo um c de tři

boom c štyři

a tak dále

a tak dále a tak dále pokračuji prostě pravidelně na každý násobek

r rohové jak vence s jedna u vystřelím

a vytáhnu tam hodnotu

na druhé straně samozřejmě to vode vypadat stejně takže boom do ceny na si jedna

c minou dva

c mi nos chci

c mi na čtyři

co je wien jet

a tak dále

a tak dál

ú stack na čem si which to budete myslet

na čem si miss a čem myslíte

že bude záležet

kolik těch koeficientů padne

po tý jedem kopeček funkce kardinální sínus

s tam třela budou dva nebu jich tam bude deset m u na čem do

bude záviset

na třem tu

na úhlové rychlostí ano a je čem eště

raší ste toho jim pulzu jo uvědomte si že

šířka vlastně ta lité k a funkce kardiální sinus

čížka tady těch kopců

je dán jako dvě pí lomeno to je ta

to znamená

pokud b děla užší impulz té ta budem i inky

taktem kopec bude velice široký

tell dvě pí lomeno malý číslo je velký číslo

pokud udělam té head a široký bude zabírat kord

třeba celou periodu tak zase dostanu velice

úzký kardinálním pull z

zase to zase to bude souviset

s tím a sme říkali že frekvence dycky přepo týká s časem

že když f čase něco široký takto ve frekvenci bude úzký

a naopak ne o ale tady tohleto je obecná technika

jak vyrobím a jak ze kreslím koeficienty fourierovy tady

po jedné si to prosím ukázat anně na nějakém

na nějakém nejlépe

obrázku

kách tého n

krásný

s ní k ty

jsi si žena před už medem příklad a pak pude m pak u deme na

střední hodnotu

tak nějaký příkládek

máme teďka už reálný numerický hodnoty

znamená výška jim pulzu bude šest

ryor dá bude

jedna mikro sekunda

ad r ta bude půl mikrosekundy

to znamená

impulse zabírá punk u celé periody k anglicky sta mu říká diod i s jekl

a nevíme geto šesky

s už s tomu říkalo střída

k a s ní s lo

ták k

jak i bude řešení

jedna lomeno

základní perioda

je frekvence nerci jích

když to vynásobím v dvakrát p tak dostanu frekvenci v radiánech za sekundou to znamená

omega jedna bude

dvě mega p

dva milióny p ja dianu za sekundu

když si vyhodnotí n bude vypadat pomocná funkce

tak to bude

r de krát stred a lomeno t jedna

čte je toto ráce dohromady tak je to šestkrát k půl lomeno jedna

terry tři

argument ú bude ten at a půl

rock že nula celá dvacet pět

krát

deset na mínus šestou

omne kdy

když byzme si terry

toto vyhodnotili

a zepta vy se kdy

to bude p

ve přídeme jdeme na to že to jo vlastně pro

nula celá dvacet pět

krát

read prno

že je to

pro štyřikrát deset na šestou p

takže zasednu

a nakreslím si pomocnou funkci

jo kopeček

kardinálního scene u

s o bude stýkat z nulou ve štyrykrát deset na šestou p

nino štyrykrát deset naše s loupí a pak ve všech násobcích

jo takže udělám si pomocnou funkci tu tečkovanou

a teď si řeknu a hála

koeficienty fourierovy řady

tam mám střílet na všechny násobky

frekvence

dva krát deset na šestou p k to znamenala

zač no

c hnula u

v a krát dne set na šestou p jet se jednička

c dvojka se mi tref i přesně do nuly

a je bude c trojka

co je štverka a tak dále a tak dál a to samé pro záporné koeficient

tak teďka mě zajímá jedno věc

kdybychom si

vy bych vám tady pořádně f a argumente k nakreslil tu pomocnou funkci k ona

by měl jít nějak takhle

a když se tam střílel koeficient třeba ná štyrykrát deset na šestou p

s tak se u sice plást nulu do nuly

ale já vlastně pořádně nevím jestli by neměl být hodnotě p a nebo zaki eště

v nějak uplně jiné hodnotě protože tady zrovna hrana

takže prosím vás poraď temně

jakým v být argument

koeficientu co je dva

jak i mami tali todleto číslo

a to by nula p něco jinýho

prosím

or at

danilo řekl že té jedno tech má svatou pravdu děkuju

proče to jedno protože absolutní hodnota toho čísla je nula

a prostě z nulou můžete

točit na všechny strany

ú že z domy

argument třela milión šest

a moje to pořád nula

znamená tady si klidně dejte co chcete

pro se jako zdravá varianta

dat ste argument nula ale to skutečně úplně jedno

o toto platí pro všechny přechody

no pro všechna místa kde absolutní hodnota koeficientů byla nulova

znamená tady

tady

rady a tak dále a tak dále

stěna tyto hodnoty s if argumentům že to dat co chce t a pořa to

bude vycházet

ták they bych se rád vrátil

k a

ke střední hodnotě

vezme

jsme si dali v dělali tady tohleto počítání

tak sme vlastně řekli žně ten e nultý

koeficient fourierově řady

střelím někam se

to znamená že je jasný

že je v on bude mít hodnotu

r ta

mome no t jedna

vám s toho obrázku vyšlu

tak ty karl v z o vás ale zeptám jaká je jaký je význam fyzikální

za ho koeficientu cell nul

s to znamená

je to stejnosměrná složka u jinak totiž lo tam pořád nějak i komplexní exponenciály ktery

jsem o tají kolem nuly

který vždycky složí dohromady

kosinusovku ta se taký motá kolem nuly

znamená ju jí jediný prostředek e k ten signál posouvat nahoru dolů

je vlastně pomocí tehle té jedi ne konstanty

co je nul na gatech mě prosím vás povězte

jestli

signál

terry

sme si přes vím k o namalovali

znamená a je volt mínus ta je ta

do to je ta

má to veliko zde

a má tu periodu t jedna

chess ty malo pravdou stejnosměrnou složku

tohle

dokáže spočital stejnost enum složkou se to vlastně je

ten ostrá složka

tak a

efektivního no toto tá není s touhle případě možná jo ale

ale obecně ne

maximální jak i ne

čež maria děcka k to je průměrná hodnota real prostě průměrná hodnost a

z jednu periodu

to je vlastně stejnosměrná složka nevo nebo střední hodnota jak se spočte průměrná hodnota e

funkce ne u průměrná hodnota signálu

pokud e ze spojitým časem tak se omlouvám v budo se muset integrovat

a lobuje to jednoduchý

takže průměrná hodnota

bude integrál

přes jednu periodu

můžu si vybrat vodkud do kout tak si b d beru

otce e

ninu s půl periody

lo půl periody

s toho signálu

podle času

a vzhledem tom že počitám stejnosměrnou složku nebo střední hodnot lek musim podělit žel k

o periody

no ta je se omluvám ze do to vy bych null u n a netrefit

té proste spodek integrálu

kde bude mít cenou integrovat

tak a synem bych se nemusim obtěžovat v nulám že ho budu

integrovat odtud dotud

hodnota signálu tam bude konstanta který d

ran to eště napíšu ať to máme komplet jedna lomeno to jedna integrál vod mínus

t ta půl

do teta půl

déčka

podle času koliv to je

to je vlastně plocha dej tohodle čtver celá že jed vo v obdélníku

to znamená že to bude de krát

hraje ta lomeno k té jedna v je to super protože vidíme to co z

mne

před chvíli dostali jako hodnotu koeficientu c nula

tech toho si bude sedět

dobrá tak podm f zpátky

příkládek první byl

rohle den

příklad druhý

mám signál terry má zase velikost čest

má zase periodu jedna mikro sekunda

a l

r é má

t head k

jenom

dvacet pět

mikro sekund ten před tím měl

měl jenom měl pět mikro se konf hle má pět a r dvacet pen mikro

se k o ta karla vy k a schválně schován

zkusme si říct

v intuitivně

a z voleje

jak bude jak budou ty výsledné koeficienty for řevy padat

je prve by mě zajímal a jestli budou sedět na stejných nebo na různých místech

ne štyr neště před filko lo ty před chvilou

seděli ji na

násobcích

dvou milionu p

co pay tydle

moment je k a sept a pozice

před tím ty koeficienty ji seděli na kmitočtové ose

každy dva milióny p radian u za sekundu

co ta je tyto

taky

hal proč protože

základní perioda árie ta samá to znamená rotační kulomet

ve no mid nastaveny

na stejnou střelbu

tak

teďka l pozor

to jeme signál se na bo proti tomu minulý mu zúžil co to bude znamenat

že se klobou pro stáhne právně protože užší signály y širší spektrum

a je to bude z velikosti klobouku

přestavte si že

přestavte si že máte elektrický auto

a do b teho takovým ahle půl zama

těm a půl znam a před chvilkou ste ho do byly za hodinu

za jak dlouho lod oběr té takovým ahle půl za

jsem

v jeho ten šlo ten diety sally k noc s krátil s půl s půlky

na čtvrt ku to znamená

s každé periody už vám e teče proud čtvrtinu let wrap olověnou a l know

čtvrtil

dvojnásobná doba jo pro bude byl si h prostě přináší my jí ni

mean šťávě k

takže ten klobouk nemůže zůstat

stejny

ale dva krát se zmenší

jo aby k a se poďme podívat de si to vopravdu bulle takhle

zase za sedneme

spočítám pomocnou funkci

d krát ste h tá lomeno t jedna do krát jistíme že to bude jenom

jeden a půl

potom si v určíme

kde bude ta pomocná funkce pro se káva zkumy třeš to v u osu

tentokrát je to dána jako nula celá sto dvacet pět krát deset na mínus šestou

omega

tak dyž si tady to hole vyhodnotí tech tak zistí takže je to každých osu

milionu p

zaznamenáš to pomocná funkce bude menší

širší

a když podni teďka začneme pálit koeficienty

tak zistím e

že e nikoliv každý druhý

ale každy čtvrtý bude nula no tak že c je nulka

někde tady chce jednička se dva co je tři

a c de štyři bone nula

c pět šest co je sedum

c osum bude nula a to do a to de

a samozřejmě

podobný věci budou platit pro vo v jejich zápor ne kamarádíčky

ve zeptal jsem s o vás eště vtom minuli příkladu zeptam se vás tady

platí to že koeficienty ceká ad se mínus k a

sou spolu komplexně sdružené

jo aby to fungovalo aby byl výsledek reálny

tak ceká by se mělo o rovnat c minus k a

ve z íčko

a k že

well nebo ne

jak to bude tady vtom kladným laloku

sou číslá

jedna cela dva a jedna celá dva

spolu komplexně sdružen i kladný čísla

co ho u jasně a o má se prostě rovnat modul

fáze má bit opačná fáze není

žádná neboli nulova takže asi lo

co tady tydle dvě čísla třeba

c šest

a c mínus šest

modu nisou stejný

argumenty sou

opačný

takže jo

buje to fungovat no

r hokej

příklad třetí

totéž s o příklad první

v znamenal

totéž co tali tohle

a l vzal jsem kladivo

a za tloukl jsem ven signál dolů

tak aby jeho střední hodnota

byla nulova

tak a teďka

se prosím v lubo se zamysleme

co se na fourierově řadě tohoto signálu změní

oproti

tomu k tedy jsem měl vo kousek

vzádu

jo ne stalo se

v nic jinýho než a se mu vlastně

přeji na či lo

střední hodnotu co je nula u s teďka není

that tá lovila t jedna ale je to natvrdo nula

pokud bych vám berry tohleto spočítány

tak to muž ohonem rychle vyhrabat n to výsledek

obkreslit

a jedinou změnu kterou dají můžou dělát

tak je že prostě řeknu

co je nula

je nula

a odcházím na

za sou že ne vařil e nové s lekl

rock

eště bych vás chtěl možná po mučit s jednou věcí

jak by to bylo u dybych ten signál null opačně

kdybych e

chtěla tom s o kaši založím novou stránku

bude ve diky

ták

stavte si že ten signál

najednou nebu je kladný

ale o bulle záporným bure tam i hodnotu mínus šest

co s tím i

tak ty k asi v zopakujeme k o veku poučku my z no stary bavili

o tam že všechny možné transformace

r vtom v l kurzů vidíme vek budou v ú

line nárním brou zachovávat

lineární kombinaci ho to znamená

že m

teoreticky když mám nějaký signál x t

trie násobený nějakou konstantou plus b krát

y t

že vtom madam případě bych měl vidět v ne výsledku

a krát koeficienty fourierovy řady toho a áčka

plus b krát koeficienty fourierovy řady

o ho béčka

na tady samozřejmě vidím jenom jeden signál takže do můžu po šprt alt

a nemám konstantu

mám dam jenom vobyčejný slow v zněnu z naming a takže

mínus i x t

tak bych měl vlastně vidět

mínus ty původní koeficienty fourierovy řady

a k a teď něj a mě prosím vás řekněte

co mám provést

abych koeficientu fourierovy řady změnil znamínko

a mám kuš je připraven if takovýmhle pěkným

na obrázku

a co s co mu doly co absolutní hodnoty

ti měli zůstat že o bliž prostě v mám šestnáct korun a dvace štyři koruna

udělam s toho mínus šestnáct a my no zase štyři tak absolutního na ty sou

vpořád piny

jo takže absolutního no typ

pře maluju u ty bylo u stejný

no a tak dále a tak dále a co s těm argument amaco s tím

a vám udělat

dobrý a já k bysme to měli děla

ve si v jako přičítat nebo de čítat

com byl jsem zdroj a sta udělám koreny

ne n pozor ample sněn držené manna

oni veme se na to

rožku přesně je a u dyž mám

mám komplexní rovinu

hlavu tam nějaký kladný číslo ktery chce ze zápor nit

tak ho prostě otočím dolů

boot o u help me

a nebo o uhel mínus pí

a když tam mám nějakých zápornej číslo

který má rouge ú help plus pí nebo mí no spí

na komusi otočit do kladné jejich

až ním případě

na sobe chytne uhel mula

no takže jednoduché postup je

ze všech nul tady udělat plus pí nevo umí no spí

a ze všech p nebo p

vo mino spi

udělat know

a to v zase jak si to rozhodnu

jestli budu místu nul dávat plus pí row mino spí

l celkem jedno můžu se řejhy řídit nějakými estetickým i pravidly

že tady budo dával střela prus p

tady budu dávat mino spí

ale jinak je to celkem jedno

a případech že ty hodnoty koeficientu budou loví to znamená tady rady

r i je to u úplně jedno

tam je můžu klidně nechat

takže jak by to a sem r i zhruba dopadlo třeba ták třeba ták

a je do klidně nechám

e dám nulu do klidně nechám

tady bych to asi my měl

rady byla původně nula ve u bych sta uměl udělat knee

tady můžu dělat třela výnos p

na je ta nechám

ryby měl nut nulu

a tak dále a tak dále že vidite že

jednoduchou operací nut fáze ad

sme ze záporně lily hodnoty koeficientů fořt o

a k ho

u dne se podívat eště na jednu věc

vyřešme si takhle pěkně u toho příkladu

jedna

vypočítali koeficienty fourierovy řady

tak by bylo dobrý si ukázat že opravdu když na sčítám spoustu takových komplexních exponenciál

tak mi to dá dohromady ten původní hranatý signálek o ono to e

ho no se to může zkrá je zdáte koal nějaká černá magie

že kosinusovky mi nakonec dohromady dají pravoúhlý signál

ale opravdu to rock bude ve dne se na to podívat

levo

vidíte

průběh

těch komplexních exponenciál

prostřední sloupeček dáva vždycky tu jednu kosinusovku kterou virový

a do právy ho s louce to bude po tu budu postupně čítat e tu

ryby o z vrchu dolu

já vždycky kumulativní sou muž dycky na du novou přičtu

takže původní

věc bude

on stand a

hodnota tři

to set r a moc ne podoba

pravoúhlý mu signál už l

pak tam budou mít koeficienty plus i jedna mínus jedna

s ty mě udělají

takovouhle základní

o sinusovku když u přečtu přičtu

ke trojice

tak to eště pořád moc ne vypadala jako

pravo uhlím puls

s koeficienty plus dva mínus z vás e nemusím zaobírat

protože jsou nulový

takže skáču

plus tří mínus tři

dají ně se takového přičtu

a u štvrti na hrana tě tu

plus štyri mino štyri zase nic plus pět mino zpět

udělám si kosinusovku přičtu

no a když budu pokračovat dál a dal

tak zjišťují že

postupně

se ten signál bude více ze zpřesňovat

a she nakonec dybych chtěch

kosinu a kdybych tě komplexních exponenciál a kosinusovek na s čítal nekonečno tak dostanu opravdu

přesně

rana tri signa

v dne se podíl a vy si se dá rozkládá něco jiného

s ose dam they na vás připravil

které je aspoň klade monstra se tak po usek řečového signálu

a tady ku z hlásky

pře které jsem vybral jednu periodu a tu sem tak dle umělé za sobe zasedne

na flákal

takže v to

to zahraju

ja to že k originální haas k a

e za k můj polo synteticky je v se eště know pako já jsem vybral

jednu periodu a aby to bylo přesně periodický tak se mi namazal

spoustu krát za sebou

protože téčko tiše k o není čistě perry lidská nikdy té na ní právě strašný

tečce na ní pohnal e

fourierovu řadu

na obrázek

s fázemi

na po mente

ale je docela v dobrý se podívat na obrázek toho

co se děje s moduly

jednotlivý koeficientů fourierovy řady

schválně

jak k by měly být otce b

vy by to vo pořádně vy plotě nepro a nejenom s počítadle koeficientu jak daleko

by otce b měli být

jednotlive koeficienty féře

tech i ú bit a měl být fotkou k na frekvenci

ty k a schválně jako budou hodny hodnej chlapík

ne musite mluvit v radiány k za sekundu ale stačilo by mě to řict hercích

tell

jak tyhlety dvě čáry jak vo co ve budou

dycky daleko

chtěje sta štyrycet n do je musel hrátek o áčko na o svých

mluvit s té můj hlaste gól e a sou hloubi

n m u do vás na pirát běžná frekvence tomu se říka základní frekvence hlasu

u můžu to běžně bývá okolo u sta herců u

u ženskejch je to vo něco víc ú dětí je to ještě vo něco víc

a tady tahleta základní frekvence

ně vlastně úlu k udává v kde bude první harmonická druhá třetí ji čtvrt takže

tady vy bylo sto her sou dvě stě tři sta a sto de a to

door a to de

to záleži na hlasivkami k za takový těch dvou male jich svaly čti jích

dcery namáhat e řvaním

a teďka mě zkuste říct čím bude

dána

stay téhle ten průběh

r který bude vlastně určovat hodnoty tě koeficientu

velte mimo soutěžní otázka schválně si jestli tušíte čím to budet

jasně a či min na barva hlasu

chtě mi dána barva nějak i jo nástroje třeba

tím ti jak ho postavit jak ten za n přesně tak a jezy a čím

dal je čím naladíte to v k váš hlas a vy trať

r zónu je

schválně si zkuste udělat

i jednu základních frekvenci

a zkusit si z artikulovat štyři ji samohlásky a její jo u ní a o

sto jen základní frekvence

stejnej odskok to je těch letech čar

a jak by děly byste dam rozdělí hodnoty koeficient

je to vlastně

polohou vašich mluvidel

a nejdůležitějším lovy dle jazyk o takže jazyk ne sloužena k je zení a k

líbání jele taky k artikulaci

a e

poloha jazyka mám vlastně ú určí

tyhlety rezonanční frekvence diky tomu vám

vaší kamarádi

můžou rozumět

ták e

o čte se podívat

jak vypadá

syntéza

zvuku

s takovýhle koeficientů fourierovy řady

já o tady u jsem to tečka nebral l pólo

jednom

ale aby to šlo rychlej tech sem do vzala rovnou po pěti koeficientech

takže prvních pět koeficientů dá něco takovýho v ní moc e to originálu ne podoba

dalších pět koeficientu u zpřesníme dalších pět pře sníme

a když i k dáme spoustu tak dostaneme

velice přesně původní vlnu

odpovídá to vlastně tomu

že byste tu řeč k syntetizovány

jenom tady s těhletěch koeficientu o tom přidali další pak eště další vště další a

nakonec s v je vzali uplně všecky

e docela zajímavě z i poslechnout

x o bude zní

takže ta co j na syntetizovaná jenom z nultý ho a štvrtýho koeficientu u zní

zhruba tagle

ja za jak nějak i klávesy l

když přidáte dalších pět a r

para eště pět

lo není mott poznat že ještě pět

chtě pět

chtě

a všecky

pá tak a sme na v a na originálu

l takže

demonstrace to y vypadá zvu když o postupně zase vy skládá v tech

s těch jednotlivých harmonických složek

ták já

výše tarif tom ne korzu

na definuje nějaká transformace

pak potom přichází

část s která solné poučky

nebo zlaté pravdy tak zlatej e pravdy o or

fourierově řadě

sou následující

frejerova řada je lineární k

takže když ú

na mixu ju dvěma konstantami

dva signály

tak stejným poměrem v můžu na mixovat

původní koeficienty fotr

a dostanu ty nové

když signál posunu včas e

znamená mám

nějak i

periodický

a já ho

o kousek posunu znamená bude oproti to uhel tomu původnímu nějaké ně časové posunutí taut

a k pozor k

koeficienty se přemění a s původních profi cit už u koeficientu co je k a

se stanou koeficienty ceká z dat n o mínusy je k omega jedna ta u

no zatím to vezme méno mac on čirou magii za chylku sektou mu vrátím

pokud změním tomu signálů časové měřítko

znamená vynásobím čas v libovolnou konstantou

tak k to jo zajímavý s hodnotami koeficientu se nestane nic

a l tady bych

se chtěl zeptat

zda se

op pravdu

nic

nest ne

jeho dyž budu mí takový obrázek koeficientu fourierovy řady i nějakého

signálu

a teďka tomu signálu dvakrát z rychlým čas

tak fa ten obrázek můžu lich a tak heck byl nebo

cože mně co musím změnit

jak i měřítka cot dohle

jo o

takle do může nechat v růže by koeficienty sou opravdu stejný a l

musim ty koeficienty namalovat na jiný místa

ne o vony sid se

o pravdou skutečně hodnoty c nula c jedna c dva tak ale sou pořá stejný

ale ty koeficienty se mně na to je frekvenční ose samozřejmě pošoupnout

já když prostě dvakrát z rychlým čas

tak se mi

samozřejmě

a teď k tečka by toto nechci do vrt alt

pokud dvakrát z rychlým čast poku buď vám

m t znamená původní perioda signálu

je t jedna

a najednou

sem sto h vlastně udělal l ne signál let který má periodu jenom

t jedna m

tak se mi taky

tak jsem i taky m a krát

zvýší

výší základní kruhová frekvence

omega jedna

já to omega jedna

ni se stane m krát

u mega jedna

poznamená že ty koeficienty vlastně budou na té frekvenční ose řidčeji a kreslené budou mít

nezi sebou větší zdál s

a teďka prosím vás teko kontrola je s to je to dobře

ještě jakýmu signálu v z rychlým část a k se bell signál co ho smrskne

tvor stáhne

tak se smrskne jo bude užší

když zvětším základní krovu frekvenci

tak se spektrům moc mrskne nebo roztáhne

pro stáhne jo protože nákladně kruhová frekvence omega jedna bude větší

to znamená ty jednotlivý čáry

se bot sebe oddálí

tak

pojme se trochu podívat víc na

posunuti včas e

co se stane

když mám

signál

i k ste

ten má koeficient je fourierovy řady cokl

a pak z ně udělám x t

mýmu stálou

co bude

může lout

při to zapsán s přímo do definičního vzorečku to znamená x t mínus stál u

muž osy zaintegrovat a tak dál dá se to vyřeš je pomoci nějaké změny proměnných

nebudem to teďka tady detail ně probírat co je ale prosím vás důležitý že potom

odvození stello vypadne

takovýhle integrál

kde až na to že r je tam ni ná proměnná

tak gule vlastně je to

ú pól ně původní výpočet koeficientu u fourierovy rely v amen a tohleto nám dá

původní koeficient cokl

a u toho vště štěch tom patří

door

a u toho s tají konstanta eden a mínus je k omega

jedna ta u znamená e dva klidně můžu zapsa deko typů od ní koeficienty for

rovy tady k sekl

násoben i

konstanta a

terén a mínus i vy k a mega ledna taut

tak a tečka v prosím vás

je zkuste povědět

co v atari násobení takovouhle com frantou s těma koeficientama udělala

co t za čísla ryana je k a omega jedna ta u

ta u je posunutí

to ze stane

udělá to něco s bo nul

tydlety číslá jako vždycky jakýkoliv čísla e na je něco

leží na jednotkové kružnici

jaký mají

modu

jedna

když násobím dvě komplexní čísla

tak vím že sem o doly

ad a sobí

jo moduly se násobí

ve že pokud vynásobě jedničkou tak z modulem se nestane nic takže pum o dolu

mužu bitu peně vklidu

to ječel

taky je argument stary tohodle

komplexního čísla

ne musite dlouho přemýšlet stačí se kouknout co je vtom exponentu

a není to jet školo

a o to že mínus k a omega jednat alou je argument

a ten a argument

udělá co ho tady tomuhle

čí sil cut řeka

přičte se k je hall argumentu jo protože při násobení dvou komplexních čísel

se moduly nás o by argonne kdy se s čítej takže

super s modulem se nestane nic

a k argumentu se přičte

mínus k omega jedna ta u

do si dokáže představy dek vypadá mínus k a omega jedna ta u

co to co to jako je

u mega jedna ta u je nějaký číslo os tě kruhová frekvence

krát posunutí

když bych

si přestavil s o to udělá pokud rozpohybuji tady ten koeficient k o

tak prostě pro lo

klel se rovná jedna

to bude

mínus tohle číslo

k srovná dvě u buje dva krás tohle číslo

tři krát o hle číslo a tak dále znamená že pro kladný hodnoty k o

to u čísílka který postupně takhle půjdou reko do většího a většího zápor u

a e výhodou k do z záporný

tak to se půjde do kladných hodnot

no takže

doufám ně to zajímám jede namalovaný

štěstí mám

pod mass du a se ukázat na příkladu

máme původní signál ktery jsme tady viděli před chvilkou

modů lama se nebudeme zabývat

a podm e říct s co se stane s argumenty

když těm signál posunu o vo

o čtvrt mikrosekundy load dyž ú dělám signál x t

mínus má celá dvacet pět krade se na mínus šestou

takže abych vlastně měl ty nový koeficienty

c k a nový

no stát jako

n mínus je

k a u se tam dosadím

hesse za je najdu

j e p

krát

z děleno

jen n krát deset na mínus šestou ve omega je k ram potřebou dostat ta

ve že to j nula celá dvacet pět

rád deset na mínus šestou

krát

přeje k stár í

jo když si vyhodnotím teme výraz

s exponentu takto naštěstí bude mnohem jednodušší takže to bude

ty deset na mínus šestou by se mně na měli vymlátit a bude to nula

celá dvacet pět krát z větný

takže no polovina p

já by mě tou mělo dat té na mínus i je

polovina p

krát se k starý

ná a teka sme si z řekli

že s absolutním a hodnota mato nic neudělá a protože o absolutní hodnot dá

tohodle čísla

bude vždycky jedna

a kde to něco udělá tak to bude s argumenty

že odnes i na napsat přesně

omluvám se tady má bit nový a volam lubo

ne dyž maria do budou u ladin a

tu píšu lineárně pořád a tech terry tell to byl starý

ták

a teďka u stoss nám bude obře argument

ceká nový

bude

argument

ceká starý

ninu s

k krát

takže jak set v jak sem a to půjde

já si můžu

nakreslit ty původní argumenty

který vyprali nějak able

a teďka bych je každemu v z nich last něměl

odečíst k násobek líp ú

to můžu budu měla tak

že si řeknu aha

tady je

jednička tak to bude mínus pí půl tady je dvojka tak tour e mínus pí

r i je trojka tak to bude mínus tři pí full a tak dál a

tak dále může se to prostě numericky v udělat pro každou hodnotu kala

a nebo

cell mohou zachovat jako chytrý lišák

až jist si dyž e tam k krát t půl

tak to vlastně bude nějak a

přímka bude to nějaká vy nárním funkce

která pojede dolů se ze v

se vzrůstající hodnotou

káčka a pojede nahoru ho could budou káčka zápor na takže sim vlasy můžou děla

pomocnou funkci

já boje vypadat nějak takhle

a potom a vlastně po jednu po jednotlivý koeficientech

a v dycky sirek no aha nová hodnota je ta stará plus ta hodnota na

fu mohl pomocné funkci kaz že to v un elita první je nula výsledek je

tady

a dieto nula

výsledech tady a

reje to p

pomocná funkce by v a

nino s tři pí půl s tak to bude jenom pí půl

r je to byla nula

f to bude tady a tak dále a tak dále

a takovymle způsobem vlastně dokážete zajistit nové hodnoty

ně zajistit elle zjistit na v hodnoty argument

poslední v je s taková intuitivní jak

chci ta je toto představit je

pokud mám a

posun toho signálu doprava pokud s a mám k odečte nějaké konstanty

tak si můžete přestavěn že vezmete tu

původní argumentovou charakteristiku

pak si na chystáte velky kladivo

ale opravdového k i

etan a vidět

tach kladivo musi bin

a malo vane samozřejmě přesně

a dáte do pravé strany ten argumentové charakteristiky strašnou ránu

takže se vám to celé sklopí takhle dolů

no a

dostanete výsledné hodnoty argument

ták kontrolní otázka

co bych měl ú dělat

dyž bych se tenci ná předbíhal wish by tam byla nějaké hess t plus ta

chladným ta u

jak získám

výsledné hodnoty argumentu

tak použiju pořád m s tam i nástroj

jo lo peříčko vrat neuron k a let o pořád kladivo ale co c mu

dělám

přenesou ho na druhou stranu

a prašti strašně do levé poloviny

té argumentové funkce

čímž pádem je to cele vyjede

do kopce a drove stranu

takže

tohle byl prosím vás velmi vědecky výklad k tomuto sedě při posunu ti a se

si že parsevalův teror žel mez by k a ú no willis tím kladivem tak

bash po přestávce

k termy u předs t

tak prosím pod dle na to poďme brdo razit fourierovu zadu

ji sebe

ták poslední věc která mě vari

bude hrozně zajímá t je výkon

a k že

je sme si řekli

že býk on

respektive střední výkon

sed a

se dá spočítat k tak

že bez mu vlastně okamžitý výkon signálu to je tajit

toleto jeho okamžitý výkon

budu ho integrovat přes jednu periodu

a pak to tou periodou podělím a tím získám střední výkon l

no a

tetin

parsevalův

stáh tvrdí

že uplně to samý

mohu získat start

že vlastně

psi udělán fourierovu řadu signálu

a pak prostě vezmu

od no ty všech koeficientů

z dáme do v absolutní hodnoty

o hledám na druhou všechno posčítám a hotovo

mámte střední výkon taky

slož vypadá jako nějak a

černá magie žel

a bez ne si teďka mohli zkusí říct jaké tohleto

tak je tohleto vlastně možný

takže podnes i zkusit výt s toho

je sme si ten

signál takhle pěkně rozepsal i

do lo fourierovy řady

poznamená že

budeme mít e

budeme mít l koeficienty ceká krát e h na je k aha

omega jedna t e

l bude

mínus nekonečna

o nekonečna

a poďme si s kuči tuku zkusit tím s počítat výkon

takhle vyjádřený ho

signálu

a takže když tych tour u počítat b kont takhle vy nadřený o signálu tak

a budu mít jedna lomeno t jedna

král

integrál o samozřejmě přes v jednu periodu

s ú má a

po s mínus nekonečna v ale konečná

se reka ad na

je a

omega jedna t e

podle času

to vypadal naprosto ukrutně lásky

ale bodne udělat e kovo u v tak o fin tou kterou matematici dost často

dělají a to je prohození

pořadí

integrování a sumování

takže odnese podívat na to

co to udělá když pořadí těch du prací ho obrátí na lomeno

jedna tam u zůstane

suma

vodka se rovná mínus nekonečna ho nekonečna

a ta rychlé vodou mít v integrál přes jednu

terry jódu

eště sem dam někde zapomněl

tu absolutní hodnotu

absolutní hodnotu na druhou že

tak to se prosím omlouvám

kami vám strčit

v bude potřeba si někde tady

a jehle bude

absolutní hodnota na druhou

takže integrál

a teď touž to můžu

rozdělit

takže budu ta nej mít chce k a absolutního natě na druhého u a potom

na je k a omega jedna t

absolutní hodnotě na druhou

odle času

tuto vypadá v a pořád naprosto neskutečně ukrutně

ale po těly prosím zkusi zříct

kolik je

absolutní hodnota

s r na je e k aha

omega jedna t

jedná správně super rauš su v sem rád že u sto berete

zase push po padesátý ale budu tou pakovat pořa dokola tole sou čísla která sou

na jednotkové kružnici k

absolutní hodnota z nich je jedna

druhá mocnina téhleté absolutní hodnoty

jej samozřejmě taky jedna

jedna vykřičník s

já o

hodnotách a

koeficientu fourierově řady jenom o vo v absolutní hodnota koeficientu fourierovy řady na druhou

se vůči tomu integrálu samozřejmě chová jako

konstanta

takže je to integrál konstanty

přes jednu periodu

co šedo celo jednoduchý

prostě takt samá konstanta

krát jedna perioda

takže dostávám něco vek obli no alan jedna

o n a t jedna

sumu tam plynně ho píšu a se no v na vod mínus nekonečno ho nekonečna

a najednou divejte na tam bude

co je k na druhou absolutního absolutní hodnotě

krát to je jedna

no a zhledem to může té jedničky se mi tagle navzájem pěkně vy podí

tak i s toho

z b de

suma absolutních hodnot

koeficientů fourierovy řady na druhou

lo takže vidíte že nějakou operaci ani ne tak složitou

sme si vlastně uvěřili že platí v parsevalův té horem

a tedy ji že můžou ten ne

ten střední výkon určit budí integrací

a nebo u fourierovou řadu

lo samozřejmě si řeknete ježišmarja tset zase za složit else

proč mám dělat fourier úřadu abych

v abych počítal střední výkon

když to d tagle vek o včas v a uč to umím

ale někdy prostě tu fourierovu řadu v máte ú spočítanou

a pak asi vopravdu jednu duší vřít všechny koeficienty v absolutní hodnotě na druhou ho

jenom je posčítat

veš se eště drbat s nějakým dalším integrál e

core vénu blink konvergence fourierovy řady

nemusíme

a z hrnutí flóře l

chtěl bych abyste si uvědomili

tyto tři základní pravdy které tady v různých obměnách uvidíme během celýho kurzu

ten signál je periodický

pro tím že je periodický

tak spektrum

jeho

vyjádří ne pomoci fourierovy řady

a když řady tak tam asi bude řada nějak i koeficientů prže tam blue v

jednotlivý čísla

neboli jednotlivý čáry

r wish se den signálu zúží

tak se to spektrum k roztáhne a naopak za to znamenáváme tam to dvě ční

boj dualitu mezi nezi časem a frekvencí

ale dyž se signál zpozdí

tak se fáze neboli argumenty na klopí s kopce

když se předběhne na klopy se do kopce o by dít že ta ji není

nikde žádný i v nikde žádný žádna rovnice

jenom pay tyhle tři

periodicita

znamenal čáru host

zúžíme k na druhé stane sto roztáhne

a zpozdíme sklápíme

předběhneme viklá p e

jo pak tady tile věci u jíme v různých variantách

budou si třeba dít ji ve frekvenci a se z donně promítne včas e

z na hotových fourierovou řadou

na ni v dycky navazuje

fourierova transformace

takže poďme hned do ní

řeknem si co je

vlastnil root fourierovy řady takový proble

já bych se hrozně chtěl zabývat i jinými signál mineš perry lickými chtěl bych

před psy třeba zanalyzovat

nějak i signál který jenom jednou proběhne

a kuš ne

a nemá vlastně řádnou periodu

a zase bychom chtěli

i tady tyhlety třela jednorázové signály nějakým způsobem rozložit

do spousty komplexních exponenciál

do to že k sme si řekli tak ty komplexně exponenciály hrozně milujeme

když je proženeme line nárním systémem taxa u bude zase komplexní exponenciála která bude jenom

nějak spuštěná s ten černá

a po to chan a

takže k o chceme strašně moc v rozsekat

signál do komplexních exponenciál

pak se pod podívat na to jak by nám to mohlo jít

začnu tím

že nakreslím takový v

pěkný periodický

signál

a před silku sme si ukázali že ten pěkny pero dycky signál má takovouhle

fourierovu řadu

jo prostě kopečky dane

kardinálním c dnem

teče s zkusím bříz tak

drahý

hry licky signále

já tě trošku prostředím

nechám s tebe jenom land o

každou druhou periodu

co se stane

samozřejmě z ne tomu signálu ubrali

energii

samozřejmě z mého roztáhli

poznamená že by se to mělo ve frekvenční oblasti

smrštit

a jeho koeficienty fůře o bulu vypadat následovně

tady byly dva

koeficienty vždycky potom

potom nulový

protože byl ty s i call tady byl jedna polovina tady u vše dill pis

ajko jenom jedna štvrti na

a back to zkusim udělat eště víc

eště ho víc rozřadit

l do stanu eště menší a eště hus čí fourier úřadu

a nakonec rostě to dovedu až do absolutna řeknu

ták

a teďka ste hochu nechám je nově dnu

jedem štvereček

a řeknu že máš nekonečně dlouhou periodu

tak co ze stane

e ty jednotlivé čáry sift of sobě nekonečně přiblížili

takže už nejsou na určitých frekvencí chle sou úplně všude

to široce lo dobrý

co je špatný je že se

všechny zmenšili takže všechno nula

takže nevidím vůbec nic

takže

týhle postupem to asi pude l bude to chtít udělat nějak i tři

š jenom tím že řeknu jako bude to fourierova řada

ale nastavím í periodu

na nekonečno ho takhle prostě brutálně to

ja že si poďme

zkusit

takový matematičtější přechod

kdy řekneme

dobře drahá period do

je tě budeme roztahovat až no nekonečna

namísto

toho aby

fungovala

nějáká základní kruhová frekvence dvě pí lomeno t jedna

tak řekněme

true děláme s toho v nekonečně malý

posun ve frekvenci no vo nekonečně malý

kousíček frekvence

push nebude žádna k krát základní kruhová frekvence to že kulova frekvence neexistuje

a l na kmitočtového se můžeme o bělit uplně všude

tech pozor v jeďte v začne bit vo něco horší

uč nebude koeficient

padlo už nebude koeficient fourierovy zady

ale bude nekonečně malý přírůstek koeficient o fourierovy řady

takže nějaké ve konečně malinké dece

z l

vlastně

frekvence původní

která byla jedna lomeno t jedna

tak taky budou mu se nějak vycouvat a boli to nekonečně malý

přírůstek kruhové frekvence lomeno dvě pí

a kate tě v všechny tady tyhlety věci vezmem

a zkusím nastrkat do původního definičního vzorečku provo fourier úřadu

jo takže

low i cen

kruhové dar fourierovy řady bude nekonečně mali přírůstek check

tady bude

místo jedna lomeno perioda nekonečně malý přírůstek tech lence ho myl vypí

integrál kuš nemůžu

valit jenom mott poloviny periody do poloviny periody protože perioda existuje takže po valim od

mínus nekonečna do nekonečna

jediný se nám zbyde je signál buff ten dam aspoň může nechat

ale e

u té komplexní exponenciály kterou bull násobit nemůžu počítat s

s nějakým násobkem základního kruhové frekvence protože to pře stello existoval

a musim si říct je to libovolná kruhová frekvence krát e

tak a ty ta udělam e jenom takovou

drobnou úpravu

řekneme si

že na tohleto převedeme ná druhou stranu

a dostaneme dvě pí krát dece lomeno d omega

se lovná takové můj integrál

a protože je dost blbý

říkat

dvě pí krát nekonečně malý přírůstek koeficient o fourierovy řady ku nekonečně malé v u

přírůstku kruhově frekvence

tak tore si nějak pojmenujeme

a zavedeme pojem spektrální

funkce jo takže

na té na to odvozeni teďka zapomeňte

nadefinujeme cosi co sem manna x i je omega

bude to spektrální funkce

nebo se tomu taky může říkat fourierův obráz anebo lock na obra signálu vy k

ste

a pozor

tak jak sem walls varoval

tak podobně jako těm

hodnotám apollo h koeficientu fourierovy řady sme řikali spektrum

tak to mula budeme taky říka spektru

jo akorá že sip uvědomím opravdu ten zásadní rozdíl

že koeficienty fourierovy řady byly

definovány jenom na určitých tak vencích a blít o čísla

dyž to tady tohleto je celá funkce která valí pro všechny hodnoty

pro všechny hodnoty frekvence

a v když si budeme chtít pohrát zla tech m l vo z nějakým sázecím

softwarem tak můžete říct

že se to třeba značí tak bleu jill vlaskně signál přes fourierovu transformaci přejí de

na spektrálních funkci ale

to je celkem jedno té ten formally k a

do u tohleto je důležitý protože toto je vlastně definiční strach

fourierovy transformace

o libovolný v f periodický signál

kterak ho pře vrátíme do spektra

nějaké vlastnosti

z tak jak sme ze tady viděli provo koeficient je fourierovy řady

že ze dcery k a

bylo

kamarádem cell mínus k a

znamená komplexně sdruženou hodnotou

tech podobně to bude i pro spektrální funkci

jo u spektrální funkce

pro nějakou kladnou frekvenci

bude komplexně sdružená

touto funkcí prof zápornou frekvenci

dá se to ukázat na tom že vlastně

dokážeme tu komplexní v exponenciálu rozložit do kosínů

a do scene u

a jak sip příde na to že aby to fungovalo

tak musí být

tá a

musí být z reálná část stejn a

i imaginární část musi byt opač na což znamená komplexní sdruženost e let to je

nebudem děl

do sela zajímavě tech i podívat cena

na dva takový speciální případy když mám vlastně

sudý signál

jde jeho

od no to na kladným čas a že ta samá s o hodnota na záporným

čase

tak dostanu spektrální funkci jenom kladnou

ve mimochodem

to co sme viděli před chviličkou vůl cool i ú fourierovy řady no my s

no vlastně měli

symetrický impulz z i

počítali z ne koeficienty shořel

a dostali z n všechny kladný

jo tak

to stejný platí pro fourierovu transformaci byl to symetrický signál tadle

naopak dyž ten signál je lích í

neboli

jeho hodnota pro kladnej čas

ji mínus hodnota pro zápornej čas

tak dostanu o

dostanu

spektrální funkci

která je čistěj imaginární

pak by byl u eště dobrý

si nadefinovat

zpětnou fourierovu transformaci

a tady to ze se de

pomocí nějakých brutálních dosazování nekonečně malých přírůstku tam či onde

a l

na stačí

m výslednej i vzoreček

který vlastně je

čas

signál včas e

je spektrální funkce krát n a je u migrate

podle

omega

ale pozor zjevuje se na tom vo tanta v jedno lomeno dvě pí

schválně proč mysite že tam bude to

jednalo menu dvě pí

zase toho zase to bude půli nějak ill v nějaké ortonormální tě jeho zase to

bude kvůli normalizací

tak aby mě vlastně jedna báze

vycházelo a

bych ze mám

k jako

or to

null

tak o normální z mana stvoly kostí jedna

konvergenci nic

ještě možná před tím než dře jedeme k jeme spektrálním funkcím důležitých signálu

tak bych tady r to děla takovou souhrnnou tabulku

vy se podíváme vedle sebe na fourierovu řadu a fourierovu transformaci

že to vojetej bude

čas frekvence

a druhé straně

ujít frekvenci

na čas

u fourierovy řady

počítáme hodnotu

c k a takže

ulomit jedna lomeno ta jedna hrát integrál

přes jednu periodu

signál krát

e na mínus i je k

omega jedna t e

podle času

u fourierovy transformace

počítám spektrální funci to zdi je x jeho mega

s rovna

they hrál

musim jed vod mínus nekonečna do nekonečna žádná perioda není

k ste hrát

e na mínus je

obecná

kovová frekvence zase není tam žádna základní

podle čas

teďka když se potřebuju vrátit s frekvence zpátky do času

tak pro fourierovu zadu

budú by skládá v a ten signál z jednotlivých koeficientu a z jednotlivě komplexních exponenciál

takže to půjde

z diskrétních hodno takže

půjde to sumou

k ste

bude

suma káčko u který obecně by jeho a od mínus nekonečna mami konečná

co je k a krát e na a tady ušet plus je tá

omega jedna t

a vpřípadě fourierovy transformace

to nepude sumou protože k ty k si je omega je

spojit a funkce

chart že budu musel í integrálem na s o ne k pod mínus nekonečna no

nekonečna

pozor bude tam za normalizační konstanta jedno lomeno dvě pí

na a

x i je omega v chrát r na

plus

omegat e

podle o maybe i

no tetě

vidíte že ty věci s

s o docela podobají

a my budeme časem z i tomle kurzu hrátek z vono u fourierovu hru

to znamená já vám

pro nějaký případ

řeknu co je vstupem

místu

no v na se

stup

král ad r é

na je

aby k a vás nechám doplnit operátor

necham s doplnit znaménko

nechám dbá s doplnit v možná nějakou tu normalizační konstantou jí dyž na to když

zapomenete tak se svět nezboří vono to bude podat fungovat

a nechám vás zappa nit

to správné ne co patří

co patří k tomu je čchu lag dycky ta musí sedět

a stačí respektovat klan základních pravidel

jako že třeba diskrétní signál nemůžu v integrovat

že spojity signál nemůžu sumovat

a že funkce r na jeně sou musíš hrad radiány

a pokud o to respektuje t tak trefit e

skoro všechny

fourierovy operace

u nezpátky no fourierovy transformace

spektrální funkce

důležitých signálu

jednotkovy impulz

a jak říkali jsme že jednotkovým pulse taková nepříjemná funkce

která vlastně vznikne talk že

vyrobím pravoúhlý signál pak ho dám do svěráku

a postupně ho budou mačká s tak dlouho v až budou mít nulovou z nulovou

délku

a nekonečnou velikost

a jednotkovým puls

potom získá vekou zvláštním vlastnost

a teda k zvaná vzorkovací schopnost znamená

pokud

má ne jakou funkci

která s je takhle jako

někde zcela beze strachu probíhal

a pro násobím a

někde sedícím ne nako viny pouze je to je todleto čas ta u

a pak to celé zintegrujeme

tak zjistíme že ten í

diracův impulz

zabil

celý signál

nechal z něho jenom tady tuhletu je jenou hodnotu

tou hodnotou se sám vynásobil

a když ho pak když opak přeintegrujete

jak že získáte k o výsledek k tuhletu

jedinou od lotu do že mi říkame že ten k diracův impulz matek zvanou vzorkovací

schopnost

wish ho prostě je kam posadíte

i násobíte ho s původním signálem a pak to přeintegrujete tak on vlastně přečte hodnotu

signálu vtom kterém bodě

no atika se poďme podívat

jak terry toho l

zohlednit

wish se budeme snažit počítat

spektrálních funkci

takové hody raková jim půl

takže mým signálem budiž diracův impulz

terry je nekonečně úzký nekonečně vysokým v plochu jedna

letové

včas

pohled o j

ne o tate i se snažim spočitat jeho spektrální funci

a že zasednu

a píšu peaks je o někdy a

s rovná integrál od mínus nekonečna do nekonečna

k ste krát e na mínus

je omegat e

o run času

což se rovná

teče

si prosím přestavte

liten druhý člen to e na mínus i je omega t

jako

normální signál l a s ti komplexně exponenciála není jí si i myš signál znamenat

k je to komplexně exponenciála k ten si tagle jako vpohodě rotuje kolem toho dyna

kovo in polu zvu

samozřejmě má nějakou frekvenci

wish má nižší frekvenci ve gyros to že nějž í d a vy šíp frekvenci

de geco jako hnou štěně ji she

a teďka příde diracův impulz a udělá vrah

za bělí tady

zabije jí tady

sto ještě meto šili jevu je takové drama žel a konci přednášky

j a řek jet m něco zní zbyde

vy d pouze hodnot komplexní exponenciály v nule

null takže dostáváme vlastně

integrál

diracův impulz krát

chudí herka

je ne

na mínus je omega

nula

jediná věc která zní zbyde

koliv to je ta je to ta

té jedna

takže výsledek

sledy k i jedna

pro všechny možné kruhové frekvence

je ten ta výsledek jedna

takže spektrální funkce prosím

bude

hlavně zajímala

pozor l o prosím vás spektrální funkce jere obecně komplexní ve že z i zase

zvykneme na to

že ji budeme malovat

vella modulu

a fa gum n tu

jedna

pro všechny frekvence

a samozřejmě argument

čísla jedna

je nulový

takže tady to boj nula

pro všecky frekvence

lek o tak od z docela s docela zvláštní funkce ten diracův impulz že

teď by mě zajímalo

jak tady toto bude vypadat

když

ten diracův impulz

kosy k šup name

protože teď budu mít z diracův impulz z nikoliv v nule

a l v mně kde mu kousek inde v nějakém čase ta u

a tady je tá lo

tady je

reje téčko

tak co teď bude

jasně

billed bure to uplně přesně stejně u show už landa dokud elku nebul u malovat

ale

dostanem integrál hod mínus nekonečna na nekonečna

l ta

t mínus trau

krát

e na a e

vínu s je

omega

odle času

akorá že já se můžu na všechny hodnoty

časový uplně vykašlat

kromě jedinýho času a to je čas tall aut

no takže já mu že říct

o ne je to vlastně integrál

delta té mino stálou

chrát e nám mínus je

omega ta u

nino s nekonečno rovná se

jak i bude výsledek to je todl integrálu

to e na mínus i je o mi data u se bude chovat jako u

konstanta

vůči integrování podle času

integrál d raková jim kulu zuje

jedna

takže je torr e na mínus i je

omegat taut takže co se vlastně stalo

je ten diracův impulz

rostě navzorkoval

všechny možný komplexně exponenciály

včas e ta u

by blil

jejich hodnoty

takže tady toto je výsledek toto je spektrální funkce

a v ně bude zajímat si jak tuto spektrální funkci

namalovat

ho takže zase v budeme si muset připravit

obrázek

absolutní hodnoty spektrální funkce

budeme si muset připravit obrázek

argument si spektrální funkce

a vy mě tech poradíte co ta mám namalovat

hlavně ti pá nic se tam živ paní celou dobu ti mě poradit i lezl

f šest řadě

n kterých se schovává za komplet babi vo nevidět

tak jak i bude jakých non modul spektrální punkce

modul znamená a převodní hodnota když tady tohleto

číslo vrazím dá přemě ty hodnoty kolik

koly budou mít

n a je cokoliv

jedna

pro všechny k nulové frekvence jedna to znamená vidite že toto je úplně stejný jako

minule

r a co v argument

chci vědět

co je argument

před chvilkou sme měli argument žádný yard argument byl nulový k jo tady uč nějakej

argument bude

argument je dycky toho co se dít exponentu

a není to je

takže mínus omegat e

jak vypadá funkce mínus o omega de sorry mínus omega taut

x to představy

o omega n normálně proměnná l

a ta u je

konstanta to bylo to kde seděl ten původní k i

when diracův import

takže podle toho jak velký je ta u

tak je to funkce která pujde

více či méně s kopečka

o vode to přímka

hale to normálním přímka

se s mně

která v měla procházet nulou možná to trefí mi aut

jak v tlustá

a ta má směrnici

mínus k aut

prosím

nohu mě hotel a

u otto té doby co vín s trvá do set mi no veče

ták error

fájn takže z ně měli s n spektrální funkci

jdi raková a

drak o v i pulzu

fi jedna k ve základního jednat posunuté hor o

tak poďme zkusi nějak i další legrační spektrálně funkce

a stejnosměrný signál

signál který má h od no to konstanty nějaký áčko

photo je troll

pote x to

tak a rito ne vorem počítat protože to bylo by to bylo nepříjemny

já vám to řeknu a bobby jsme sto měli zkontrolovat že to je pravda o

takže

pravým že

spektrální funkce tohoto signálu

je dvě pí

krát

diracův

impuls

ne frekvenci

alla

to je docela u krut lidi v aspoň bysme to mohli z na začátku namalovat

takže

diracův impulz z ve frekvenci

tohleto je omega

toto je x

je omega

nebude mít mocnost

e jedna

a na bude mít mocnost

dvě pí a kde a byla on na to toho stejnosměrného signál

tady se omlouvám die sem do spektrální funci ne maloval jako modul a argument

jeho chodem e k by mem vek byly pral modul a argument s takovýho hle

ira kovat tím pulzu

modul by bylo asi stejnej je takže

prostě absolutní hodnota je to sto jiný a argument by byl

pokud e mocnost o hody raková jim poolu zvu kladna

tak nemám důvod nějak točit

na tu či onu stranu s argumentem takže by den argument volby dnu love ji

pro všechny pruhový frekvence ho prosím odpust m i to teďka to

teďka to maluje no mac o jednu nic i

no a že abychom to ověřili z datel zda je tou pravdu pravda

tak bychom si měli udělat zpětnou fourierovu transformaci takže šup

jednalo mého dvě pí

integrál vod mínus nekonečna do nekonečna

omega chrát n a plus

je omegat e

d o made a

koš se rovná

co u dyž za x i je do omega

dosadím ten tenhleten diracův impulz co se stane

vy si zase

tento komponent

může představit jako u komplexně exponenciálu

která tentokrát má za fixovanej čas

a kroutí se to tak dle prostě s o

kruhovou frekvencí ho mega

a z n diracův kým bull si lup do s za bier normálně

a nechá zní pouze hodnotu

v nule

hodnota komplexní exponenciály polo argument nul je kolik

e na nula

jedna ne o takže

tady na lo zbyde e

s tohoto

hodnota jedna

někde tady mám eště hodnotu dvě pí i kde mám hodnotu dvě a

je tam diracův impulz takže ji dyž to celé po integruju

tak to bude tak on sám za která tam byla před tím

a pak tam bude v je p krát a krát

jedna

znamená v ní to že

dvě pí s toho vylítali

a dostanu pro všechny časy

pouze hodnotu voze hodnotu a

stejnosměrný signál v a velikosti a

r é

ještě je tady

poslední v takova nepříjemnost

přestavte si že někdo

příde

a řekne nora bych s tečka jako do u ste fourierovy transformace chtěl nacpat k

í periodický signál

tak m to nemůžete zakázat ho protože tentro jedy z protože prio dycky signál a

má normálně m

má normálně spojitý čas

takže k ne to no to k ho tak

tak poďme na to

jet docela dobrý si d z dyž š mám dělat jedno fourier tak

použil u výsledech druhého

znamená říci ten priorit ski

signál můžu vlastně zapsat

pomocí fourierovy řady

k že

ho vezme to tarif této formě

atari tuto formu

teď í vyzkoušíte

nacpat

fourierovy

tam formace ale v z hle na tom že se čas na chvíli jel

a už null a z vidim značnou v únavu tak se o toto pokusíme hash

příště

je no možná si jako zkuste uvědomit

soby to asi tak mohlo být

stejnosměrný signál

má spektrum ktery jed ira true nule

popřemýšlejte o tom

wish to spektrum bude did a kane někde jinde dash v nule

jaký signál ta muru bude odpovídat a jestli to náhodou nebo neužiteční

jakou za pozornost přiští týden a schledanou

Signály a systémy - přednáška 4.

2013

Jan "Honza" Černocký (Speech@FIT)