Přepis řeči - Signály a systémy - přednáška 8.

tak po něj se do to po s pustit

já jsem ano lukáše burgeta si je to moc z nahlas by řek o co

je to slyši daně dobře ne vo

je to vpohodě nekdo řekněme že mě cvičit aspoň ta

díváte se na mě tak snad jo

takže já směru lukáš burget jsem tady neska misto docenta černockého který je na někde

pryč na složeny cestě takže mamo to mám

něco popovídat deal a

ja tady ty přednášky mám takhle dycky hrát protože stary jako aspoň ten moment překvapení

že přídeme na nějaký slajd a všichni sme překvapení s tohoto na tom slajdu vidíme

a teď se snažime přít na to co vy to mohlo znamenat ale

já jsem s je teda prolistoval aspoň rychlé takže dneska tou je takové jednoduché je

tam spousta

spousta jednoduchých integrálu které u ste viděli často takže se

takže se sim a nějak zkusme prohrabat

tak

a my umět neska byzme se měli bavit o

vzorkovaném signálu vy ste se posledně bavili o vzorkování předpokládam tak dycky kdy se zeptam

o čem ste se bavili posledně tak

když se když to navrhnu že ste se bavili o vzorkování tak většina keyword o

tak hlavu jako možná jo tak jako

jdi kdybyste to nevěděli tak ste se posledně bavili prio za kovány takže víté jak

navzorkovat z dna vzorkovat nějaký spojky signál a my se mezka budeme dívat na to

co s ním za rok navzorkovaným signálem můžeme dělat jako můžeme obrábět

to stupně se dostáváme k něčemu co pro nás jako počiny či počítač niky bude

praktické

tom že se snažíme nějaký spojky signál dostát do nějaké podoby nějaké řady čísel a

s těmi s těmi čísly

už dokážeme něco počítat

a tady tahle msta přednáška bude takový uvidíte že do bude takové napůl že to

bude rapují přechod o toho o toho

analogové move něčemu napřed takovému na půl na půl ú číslice lemona konci dostaneme jakou

nějakou tu nějaký diskrétní jako diskrétní reprezentaci nějaký diskrétní signál

takže

o tom o čem sme se o čem ste se ú špoták nebavili milo jak

dostaneme nějaký navzorkovaný signál

škodí vám to může pracovat takže

při když budete vzorkovat signál tak v s tak ste si říkali my vlastně se

díváme na nějaký původní signál

ale ne díváme se na ji pro každý část ale díváme se na ně jenom

pro

pro nějaké časy které jsou násobky nějakého času velké t která jí který je nějaká

ta vzorkovací perioda

takže dívám se na to na čas i jenom n t který ty časy sou

nula té dva t tři t a tak dál takže buď teda kladiva dna

na signa

my vlastně když se budeme bavit o tom na vzorkovaném signálu a to co tady

dneska v uvidíme takového uvidíme takové

tři

varianty toho si jak by bychom mohli ten navzorkovaný signál chápat my můžeme to chápat

tak že z sme my měli původně nějaký

nějaký

originální signál

a ten sme která z nějakou periodou navzorkoval i takže můžeme se na to dívat

takže ten náš navzorkovaný signály je vlastně

to že se díváme na nějaký že si že

tušíme že ten původní signál byl nějaký analogový signál

nás primárně zajímá ten analogový signál asi jet od řekněme pro jednoduchost nějaký zvuk terry

jsme si nahráli jas ti ten zvuk chceme nějak obrábět

nakonec i možná ten zvuk chceme zase přehrát zpátky takže budeme chtít vytvořit nějaký zase

analogový signál takže byl nějaký analogový signál a mi když ho navzorkujeme

tak vlastně vidíme jenom tady tyhlencty hodnoty takže

zajímají nás

tady tyhlencty hodnoty a takový l navzorkovaný signál my si buďto bude můžeme kreslit tady

tím co zem tady právy nakreslil že budeme mít

prostě ten signál který padá

který vypadá takhle kde tady ty ji

sloupečky s tou kuličkou nám reprezentuji ty hodnoty toho navzorkovaného signálu

a nebo si potom přímo můžu napsat že tohlensto je pět

sám nejde pět celých tři ji pět celých pět

čtyři celé jedná a můžu mít rostě takovouhle

řadu čísel která mi reprezentuje ten navzorkovaných seagal

pak se budeme pak se budeme bavit eště o nějaké jiné variantě nebo něčom o

čem ste se bavili už posledně kdy ste se bavili jo vzorkovaném signálu a to

bylo to bude pro nás taková dobrá abstrakce při tom přechodu s analogového resp diskrétního

že v se budeme dívat na to že ten navzorkovaný signál

je vlastně pořád s

spojitý signál globu nebudem budeme si

budeme si pořad tvářit že ten navzorkovaný signál vlastně není

není pořád jenom nějaká řada čísel ale že to je pořád spojity signál ale že

ten takových spoj ty signál který jsme dostali tím

vězme ten náš původní signál vynásobil i signálem který byla

s posloupnost diracových impulz a posloupnost víme že diracův impulz je

signál který je nekonečně úzký nekonečně vysoký a když přes něj před integrujeme tak dostaneme

jedničku

tady že vezmeme tady takovýhle signál a vynásobíme to tady s tím úvodním signál

tak vy ste si to značili takže ste si kreslili vlastně signál který byly takovéhle

čípky

kde se tváříme že vlastně tohlensto je pořád

spojitý signál akorát m signály je všude nula

jenom tady vtom okamžiku

je to nekujné

nekonečně úzký i nekonečně vysoký

impuls

který je ale když přeintegruju tak dostanu právě tule hodnotu o zase nula

asi impulz který bys integruju ta dostanu přesně tu hodnotu toho původního signál

to je to bude zase něco ještě co nás bude zajímat

a my se můžeme začít dívat na to že jsme měli původně jaký spojity signál

s toho uděláme tady tenlencten pořád spojitý signál který je nula a dupnul a du

a tady tenlencten signál mi zkusíme terry teďka zkusit obrábět

těmi nástroji jasný počítat nějaké fourierovy řady je fourierovy transformace tak jak z ne byli

zvykli jí pro spojte signály a uvidíme co začneme do s dostávat a uvidíme že

nás to povede k tomu

že můžeme navrhnout přímo nějaké ale nějaké algoritmy nějaké diskrétní fourierovy transformace diskrétní fourierovy řady

které uši

nebudou nutně potřebovali vidět n spojity signál ale kterém bude stačí jenom ta řada čísel

a budou moc dělat podobné věci budem moc zde zase dělat divá cena spektrum děla

nějaké filtrace a tak dál

ale s tím že už nám do botě našich algoritmu pole polezu jenom řada čísel

a n něco

je co spojitého co je definován f každém čase

takže t takový nějak m

nějaký úvod do

do toho o čem tale přednáška bude

a pro vás která zkuste si zapamatovat tady to co sem zkus bump teďka se

snažil říc

že ano můžeme ten nad na navzorkovaný signál vidět jako nějakou řadu čísel a můžeme

s můžeme toky vydě jenom jako tu řadu čísel bez nějak of stavu v nějakém

ú s

s nějakému spojte mu signálu nebo to můžeme vidět že to jsou vlastně jaké vzorky

nějakého původního spojit l signálu

a nebo

to můžeme chtít vidět že to jsou ty jim mocnosti těch diracových impulzů k co

že ten náš spojitý nějaký navzorkovaný signál všechny tady ty představy nám budou teďka dal

užitečné

tady je terra ještě na tome slajdů říkali jsme si

když budeme mít u představu že sedí máme na nějaké konkrétní hodnoty nějakého konkrétně s

signálů v nějakém čase

tak bychom si to napsali takto jo díváme sedum na konkrétní hodnotu nějako spojitého signálu

ale když přijdeme k tomu našemu diskrétním ú signálu tak u se budeme si věty

zapisovat takhles hranatými závorkami kde budeme říkat ano tak moje x i je teka vlastně

nějaké pole která indexu nějakým indexem

ty indexy ú jsou jenom ty indexy je těch jednotlivých vzorku nultého prvního druhého třetího

minus prvního a už budeme mít místo času budeme používat jenom indexy a budeme mít

vlasně no mě jaké pole to bude tady tohlensto pole těch čísel které nám bude

říkat jaké hodnoty

ty jednotlivé vzorky mají a pokud předpokládáme že to má vztah tomu původnímu signálu tak

víme že ty hodnoty vyjadřují hord holt nějaké hodnoty nějakém původním spojit m signál

se zase zbavím tady těch čmáranic

cože

a co jenom

de to nějakých jednoduše dřiv ten šlo kliknout jenom

no musí se věc kilo to mote para

tak

tady budeme mít na začátku nějaké triviálně příklady toho jak můžou vypadat nějaké diskrétní signály

s tady máme příklad nějakého to

jednotkového skoku a jednotkového impulzu po obdoba tohoto z neměli jednotkový skok a jednotkový impulz

pro

prohoz spojité signály

tak tady vidíte jednotkový s impulz jsou prostě vzorky mají hodnotu nula od nějakého okamžiku

vzorky maji hodnotu jedna akorát ho co u to jenom hodnoty nějaký vzorku není to

jedná spojitě včas v ale sou to hodnot jedna nějakého z roku případě

jednotkového impulzu té obdo vlády raková ním pulzu vidíte že všude je nula

z nule má hodnotu jedničko vo

takže tady aspoň i se to dá jednodušeji představy než ten diracův impulz který byl

něco nekonečně úzké ho nekonečně vysokého a měl

muselo se to integrovat do jedničky tady je to prostě

hodnota jedna pro vzorek pro nultý vzorek všude jinde je hodnota nula

tak jak sme měli spojité signály ji tak jí u tady těch diskrétních signálů o

kterých se je k a budeme bavit

budeme můžeme dostat nějaké periodické signály a jak uvidíte tak type lidské signály jsou trošku

máme tady určitý problém

s tím

a ten problém je vtom respektive nadefinovat periodicky signály jednoduché

periodicky signál prostě bude signál který se po n vzorcích začne opakovat

a jestliže n je ten počet vzorků ten nejmenší počet vzorků po kterých je on

se začne opakovat řekněme mu

n i jedna a děje terra ten nejmenší počet vzorku po kterém on se začne

opakovat tak tohle bude perioda nebo ta základní perioda toho signálu

a to je všecko takže jednoduše na se definovaný jednoduše definovaný empiricky signa

i jako příklad a se periodického signálu jednoduchý bude jaký harmonický diskrétní signál ale pozor

ú spojitých platilo to že harmonicky signál je automaticky periodický a tady dokonce můžeme vyrobit

harmonicky signál který nebude periodicky a jak je to jak je něco takového možné

takže jak je definovaný harmonický signál z zkrátí už víme máme tady definováno nějakou kosinusovku

kosinusovka je násobená nějakým c jedna cože amplituda máme tady nějakou úhlovou rychlost

teď dřív sme viděli že sme měli u nějakou úhlovou rychlost krát čas

že teďka misto úhlová rychlost krát část máme uhlová rychlost krát jenom

jenom

číslo nějakého vzorku a u ste si asi říkali posledně že když něco takového uvidím

tak vím že se jedná o jako uhlu rychlost

normovanou úhlovou rychlost takže

je to něco co už může z normalizované takže

že se můžu tvá říct že s že si myslím že n je jednotka času

jet jedna cokoliv i tak jedna sekunda jedna hodina cokoliv to je ten i je

prostě ta jednotka času já jsem se z normovač a s tak aby ví je

n bylo

když ten se pohne o jedná tak to bude jednotka času a tím o

obdobně s normalizuj u tady tuhlenstu úhlovou rychlost

bude to normovaná olova rychlost

stejně tak tady dostávám

jak jsme byli zvykli nějakou počáteční fázi když toto bude nula kosinusovka nám bude pěkně

začínat nahoře a pokus

sklouzne dolu když počáteční fáze bude ji na začneme někde jinde takže to jsou tou

jsou věci které

které všichni víme

vy ste si posledně tady se dívám že posledně ste si psali apostrofy případě že

se jednalo o nějakou normovanou load rychlost

občas i ten apostrof tady zavedeme když to budeme chtít odlišit

ale většinou nebude ve psát žádné apostrofy prosej když vedlé omega bude víme že se

jedná o normovanou nulovou rychlost

tak tady je tady máme nějaký příklad teďka

ní nějaké kosinusovky

a to je zavedli jsme si kosinusovka má počáteční fázi nula jo tam plus z

nic není a amplitudu pět a má tady takovouhle

jakou má terra tu normovanou úhlovou rychlost by se podívám tady na todlensto kolik to

dyž se podívám tady mi molo make omega jedna je normovaná olova rychlost krát tak

tady vidím

v je p dvanácti no dvě pí lomeno dvanáct samozřejmě takže

dvě pí dvanácti ně ta normovaná úloha rychlost

po kolika vzorcích se mi tady ta kosinusovka začne opakovat jo uvědomme si teďka že

n může nabývat jenom hodnot nula jedna dva při a tak dál po kolika vzorcích

se mi tady ta kosinusovka načne opakovat

dostanu další periodu tady ve kosinusovky

a po když po když bych měl normálně no kosinusovku a spojitou tak po jaké

době s

jaká je ta úhlová

dvě pí že je takže

takže normálně by se mně su po opakovala kdy bit to neděli něčím tak se

mně s opakuje hned po

jednom vzorku ale protože to dělím dvanácti tak logicky se mi začne opakovat po dvanácti

vzorcích l tak že

tady mám příklad tady takovéhle no stovky a jak vidíte tak

stary mám vzorek nula on se po jeden dva tříštily pět šest sedum osm devět

deset jeden nás dvanáct

tady po těch

dvanácti vzorcích se mi začně opakovat krásně dycky v je to přesně to co já

bych

to co já bych očekával

kdybych

kdybych ale teďka se vráti na ten předchozí slajd kdybych tady neměl

jedna dvanáctin ale měl tam třeba jedna

dvanáct a půl tím na

tak po kolika vzorci by se to z začlo by se ta vůbec opakovat nebo

ale vo začal by se to pakovat

protože ne pro no po dvanáct a půl u dvanáct a půl vzorcích bych vlezl

do té periody ale ja tam nemám žádný vzorek po ti do nás napůl vzorcích

že

takže tam by se to nese opakovalo protože tam ten vzorek není

nicméně po dalších dvanáct a půl vzorcích bych se trefil už do nějakého začátku periody

takže

pólo

dvanáct a půl plus dvanáct a půl pod pětadvaceti vzorcích chybně by se to začalo

opakovat že mě by prostě na s nastala

taková situace jako rád že

že

kdybych si to

kdybych si top pro kreslil čárou ty vzorky tak ano ten ta první perioda skončí

tam přesně mezi těma vzorkama ale ta druhá perioda u se zase trefí přesně do

do nějakého vzorku takže po

vlastně jako být dvou periodách test spojí tech kosinusovky kterou byzme si románě nakreslili se

teprve začne opakovat tady ták diskrétní takže víme že tady u že nějaký problém

co kdybych

tu úhlovou rychlost zřekl že není dvě pí dvanácti ale že je třeba jenom

n lomeno dvanáct

tak se to nikdy nezačne opakovat jo protože p je iracionální číslo aby byly ste

vlastně zjistili že každém tom vzorků to číslo bude trošku jinačí a že se nikdy

v životě nezačne opakovat a posloupnost

posloupnost novou o takže v tohlensto vybil případ kryli tady na n dvanácti

tak vy zbyl zrovna případ diskrétního

harmonického signálu pořád bude harmonický ale nebude periodicky

tak

poďme se ještě dál podívat na problémy které nám tady ji

s těmi ji periodickými signál e nastanou

takže tady

tady potom rose bavili že mu

tu základní periodu není tak jednoduché vypočítat protože

dvě pí lomeno ta normovaná uhlová frekvence nutně nemusí být celé číslo vtom našem případě

pilo tom našem případě

toto bylo

dvě pí lomeno dvě pí dvanáctin nám vyšlo tohlensto dvanáct takže je to je vpohodě

ale když nám to nevyjde celé číslo tak teďka musíme hledat

takový násobek

tady toho lenz toho takový násobek ještě toho co nám tady víde aby to bylo

celé číslo té přesně o těm co sme si dečka

prakticky ukázali na nějakém příkladu

tohlensto je teda zas jenom průběh řeči no toto musí platit

aby ji musíme na ji takové n jedna aby to platilo tom případě najdeme ten

které dycky signál o to je zase to co sme se bavili

do tech a nám stačilo tady dat dvanáct ale vtom případě že by to bylo

dvanáct a půl tak byzme tady musel í dat

dat pětadvacet aby to platil

tady s zase zdrojů to co já sem řekl

musí to vycházet k aby

toto bio celý násobí ji aby ta byzme dostali celý násobek dvě pijí takže musí

platit že

že

omega jedna krát ten plus ten jedná to znamená omega jedna krát

vzorek plus tá ta jedna perioda

tady to n

mínus

a teď sem přesně došel kdo do té situace kdy přemyšlím na tím codd co

to vlastně znamená

ale o terminus tady toto s

se nám musí rovna to znamená když tu opery jo dál a odečtu o toho

tu předchozí periodu tak musím dostat něco co je

co je nutně násobek dvě pí pokud tohlensto dostanu pokud ostanu násobek dvě pí

tak to bude periodicky signál ale já myslím že jako todlensto je teďka

zkuste se zamyslet a těm na tím codd potom co ty vzorečky znamenaj ale já

myslím že to je jasné s těch příkladu které já jsem vám dal co

jaké

jaký problem tady máme prostě

n musí být ten musí semi podařit najít takové n aby s když to vynásobíme

s tou úhlovou rychlostí dyž v to vinná když n vynásobím s kulovou rychlostí tak

mi musí výt celý násobek bylo k krát dvě pí nějaký celý násobek dvě pí

případě že tohlensto platí

tak sem našel tak jsem našel kde se ten signál pro dycky opakuje a pak

samozřejmě můj

můj úkoly najít nejmenší takové nabito to platilo vtom případě sem našel tu základních tak

poďme null

takže

tady je tady se jenom ukazujeme zase jak tomu vzorkované mu signálu odpovídat n skuteční

signál a může to zase jenom opakujeme toho čem sme se už bavili

jestliže tady mám nějaký vzorkovaný signál a tady tomu signálu zasp odpovídal tady tenhlencten skutečný

signál jo vidíte že mám move zapsané to stejné jenom tady zase říkám

vytahuju vzorek z nějakého původního signálu z nějakého konkrétního času zatímco tady u se dívám

jenom na vzorek to navzorkovaného signálu a tady používám nějakou úhlovou s úhlovou rychlost u

skutečnou úhlovou rychlost

ale dívám se zase jenom na nějaký násobek nějak násobek nějakého reálného času

zatímco tady mám už enom omega jedna krát ten takže to klouže jenom zase ta

normovaná úhlová rychlost takže sto hole já si můžu teka odvodit že toto se má

rovnat tomuto tím pádem toto se má rovnat tady tomuto coma vevnitř a zase jenom

si odvozujeme že normovaná úhlová rychlost dyje

ta skutečná bulova rychlost krát perioda tedy normovaná uhlová rychlost je skutečná úhlová rychlost lomeno

vzorkovací frekvence jeho jenom zase tady o přepočítávání

tam a zpátky ve že tyhlencty vzorečky my bychom chtěli potom použit případě že si

navzorkujeme nějaký signál pracujeme vzorky a pak b hoch z sme chtěli

a vy sme to chtěli převést zpátky nebo si třeli kreslit graf ne k kde

na tom grafu v vy neseme skutečný část nebo nějaké skutečné frekvence

budeme to dělat budeme potřebovat se takle přepočítal

tak tečka její

my jsme si ukázali toho že

můžu mít nějaký harmonicky signál který nutně nema periodu vtom kde by měl

stav o tom dvě pí jí

tech z přijdou ještě

přídou ještě horší věci protože my si teďka ukážeme to že můžeme mít vlastně

různé harmonické signály které jsou

respektive hrůzné původní signály které budeme vzorkovat

v různé tady ty původní signály které když které když navzorkujeme

tak na konci dostaneme ty stejné

ty diskrétní signály she ještě know různé

spojte harmonicky signály

takovéto

které když ale navzorkujeme tak dostaneme úplně ten stejný

diskrétní signál

tohle se nám dřív u toho spojitého se na mne mohlo stát že

když í změníme úhlovou rychlost

tak že

by nám vyšel a že by ta kosinusovka vypadala stejně když sem dal vyšší úhlovou

rychlost kosinusovka kmital a rychle d jsem dal menší úhlovou rychlost

kosinusovka kmital a pomalej ale teď si ukážeme že budeme ve ji příp příklady

kde já změním úhlovou rychlost ale přitom dostanu

stejný ten m navzorkovaný signál a to teďka s ní trošku jako magie ale hned

si to ukážeme

nebo poďme si to napřed ukázat na konkrétním příkladě

ani nám jasné o co de pak může podíváme tady na ten jste vzoreček který

to který to ukazuje matematicky takže

tady máte k konkrétní příklad přesně toho co já jsem řekl

no máme původní kosinusovku která vypadá takhle ta modrá máme druhu kosinusovku ktera kmitá mnohem

rychlej

a teď se teď sme je navzorkoval í a obě dvě sme navzorkoval i úplně

stejně

a pojte podívejte se na to jak vypadáte navzorkovaný signál

vypadá

vypadá uplně stejně takže

já jsem navzorkovat dvě různé spojité kosinusovky o různých uloví kmitočtech a přitom potom navzorkování

vypadají úplně stejně

jak je to i jak to které jsou zkuste mě jenom tech a tak intuitivně

když se na to podíváte říct

přesně tak lomy sme tady porušili vzorkovací teorém a vy už ste tam víte že

prostě když něco takového uděláte tak se tam jaksi ty frekvence začnou překlápěj tohlensto přesně

tohlensto v na přesně nastalo tady lomy vzorkujeme ta vzorkovací frekvence je pomalejší než i

je tam ta frekvence ta úloha frekvence to vo

toho vzorkovaného signálu samotná

a teď samozřejmě my musíme vymyslet

musíme přesně vymyslet aby nám to vyšlo stejně musíme přesně vymyslet

jakou frekvenci to bude mít tak aby se nám věci překlopil i tak aby k

tomu dna vzorkování došlo

došlo stejném jinými slovy kdybych já dodržel k i kdyby h dodržel vzorkovací teorém a

uvidím tady ty červené vzorky

tak podstatě vím že se jednalo o tady tenlencten původní modrý signál o

nic jiného to nemůže být o protože je vím že tam nemohla být frekvence vyšší

nešije

ne že dvojnásobek vzorkovací frekvence tady tohlensto mohlo nastat jenom tom případě že to bylo

vyšší a tím pádem mině se to jeví jako že tam je vlastně nějaká pomalá

frekvence jako kdyby se mně ta vysoká frekvence překlopil a někde do nižší frekvencí mně

se to tak jeví když se podívám na ten navzorkovaný signál ve skutečnosti tam byla

frekvence vyšší

poďme si to ještě p podívat erat zpátky tady na ten s ten vzoreček kde

je to jo potom jasne matematicky

takže já když vezmu já k nějaký signál jakýkoliv signál

a vezmu té mapou řekněme původní signál měl takovouhle kulovou frekvenci genom

zapomeňme

zapomeň mi na to a měl jenom takovou led nulou frekvenci a co já jsem

deka udělali je

že jsem tu úlohu frekvenci změnil

takže jsem k tomu při četo celý násobek dvě pijí zase nějaké

dvě k p celý násobek pít

tak teďka no uplně s prostým roznásobením tady n vynásobím do tohoto do tohoto dostanu

tento vzoreček

ale když se date tady na to podívám tak zjistím že tady mám omega jedna

plus něco co jen celý násobek dvě pí

takže já když vyhodnotím já vlastně cit tohlencto můžu škrtnout by moři z ja ty

tohlensto vlastně můžu škrtnout

protože

když top jestli to vyhodnotím tady ji proto to obec tady tohoto členů

a nebo tady s tímto člen tak to znamená že to vyhodnocují jenom o nějaký

násobek dvě pí dál ale tam ta kosinusovka musí mít

dycky na každém dalším násobku dvě pí tak on sinusovka musí nutně mít stejnou hodnotu

ta a to je přesně to co sto tu k čemu nám tam došlo takže

já jestliže

tady přičtu nějaký celý násobek dvě pí dostávám tady toto a dyž toto budu vyhodnocovat

tak

tak v budu dostávat tejné hodnoty jak dybych to vynásobil tady akorát jato tomhlenctom případě

vlastně nevyhodnocují ú

pro ten vedlejších vzorek ale dycky top vyhodnocuji pro ten další periodu a další vzorek

a zase další periodu a zase další vzorek nebo dalších

k period podle toho jaké k se tady nastavím

a vlastně vtom našem případ

padů předchozím zase řekněte mě

řekněte mě a hat tak tech tady zase smart link něco kliknout a

ještě kdy dybych našel víš

tak

když bych

když byzme se podívali tady na tenlencten příklad řekněte mě

jaká je tady normovaná úhlová frekvence

do to rychle spočítala

kolik

de se de tam vzorku takže normovaná úhlová frekvence bude

dvě pí desetin že takže za musí být čím

když dam dvě pí dese této s to stejné co sme viděli tady že tady

jsme si říkali

kdy je to dvě pí dvanáctin

tak mi bude trvat dvanáct vzorku nech se dostanu do další periody že ač a

čten dvanáct i vzorek já dostanu dvě pí stejně tak

tady

když to bude dvě pí desetin tak až tím deset desátý vzorek já dostanu

deset krát dvě pí i deset krát dvě pí desetin bude dvě pí jí

a dostanu se do začátku další periody tak že

tollens to je

dvě pí desetin

jaká bude

tady vzorku uloví normovaná úhlová frekvence

no tady by

je kdybych to chtěl de tady sem si spočital teďka kolik vzorku se mně vleze

do jedné periody no tak

kolik taji se mně vleze vzorku do jedné periody

ani jedem no a n

tech takže jak já to tady teďka dopočítám mohla

tak můj i nástřel by byla h tak tam se přidalo

tam se udělala právě ta finta s toho vzorečku

že sme si tam příde přičetli k tomu dvě pí o tak zkusme si jenom

zkusme si říct jak vy to mělo vypadat když tady přečtu když

když budu mít u původní úhlovou frekvenci

původní úhlovou frekvenci

že by byla

toto

dvě pí jí

deseti ji

a já tady k tomu přičtu a ještě dvě pí jí

o tak ta no moje nová v nulová frekvence bude

jedenáct

dvě pí krát jedenáct deseti

že

takže

s tom n some případě tech arise na tím zamyslím

a řeknu si tak vy je dobře mám úhlovou frekvenci která je

pojme si vy tady napsat

která je

dvě pí krát

jedenáct desetin

jaká je perioda základní periody perioda tady tohlenc signálu

jaká je základní perioda

signálu které a má normovanou lovu frekvenci tady todlencto u

a teďka je k teďka jak se jak se k tomu dopočítám no tak

musím najit

takové

takové n

které když vynásobím tady do tohlensto vo

tak mě víde násobek dvě pí

zkuste me najít s takové n které když vynásobím s takovýmhle číslem tak dostanu násobek

násobek dvě pí

tak dyž zvolím n

jedna

tak to v asi nebude odvar kdy ten té jeden krát

to prostě tohlensto číslo musí být celé číslo jedenkrát jedenást deseti není celé číslo dva

krát jedenáct deseti není čech

deset jelo tak l napočítam do deseti a víde mi jedenást a konečně sem poprvé

dostal celé číslo

takže

takže zase jedna perioda je

de se do logicky sme dostali to co to co předpokládáme

já a školo

deseti vzorcích dva tři čtyři pět šest sedm osm devět eset

sem se dostal

do nové periody

nicméně vidím že tady tahle msta úhlová frekvence

jí je

porušuje poruše vzorkovací teorém jo tady tohlensto musí být aby nebyl porušeny vzorkovací teorém tollens

to číslo musí být

ani

půl a míně

ale já vo tady mám víc než i jedna takže mám

takže mám porušený vzorkovat i

ano

samozřejmě tak

samozřejmě jako to je k klasicky příp

klad toho co

jak mi si tady tyhle případy ukazujeme jako teoretické příklady abychom si uvědomili ty problémy

které tam nastanou když toto neudělam ale samozřejmě já když potom budu řešit

reálně to že budu chtít nahrávat nějakou nahrávku a nebudu chtít k tomu a b

mě tady tyhlencty situace na nastaly tak musí musím zaručit o že napřed n signál

než ho budu vzorkovat pro filtru nějakou dolní propusti tak abych odstranil ty vyšší frekvence

které tím pádem automaticky ztratím nicméně aspoň se mi a s pojmy nebudou dělat neplechu

že se ně tam budou ještě promítat někam jinam a budu se tvářit jako že

jsou úplně jiné frekvence našu

než ve skutečnosti byly m

takže je nějakou informaci ztratím ale alespoň nenutné dostanu

s alespoň nedostanu nějakou novou rušivou

informace

a diaz i

zase v něco rasy co ste slyšeli ste předchozí ji předchozí přednášce o dyž se

bavíme o tom že s dochází k a aliasingu tak je to přesně to že

se mi překlápí frekvence někam jinam že já si

a je to jednoduchá věc kterou můžete vyzkoušet že vlastně

když si vezmete nějakou nahrávku

audio nahrávku a v hodíte každý druhý vzorek tak ste si to podvzorkovány i ale

kdy jsou poslechnete tak

ztratíte vysoké frekvence ale nejen to ono to bude znít eště hnusně protože tam budou

štechr čet nějaké zvuky které tam vůbec neměli být

vy když si nahrajete vyloženě jaké činely které řekněme ještě půjdou k nějakým těm frekvencím

které byly nahoře těch frekvenci které ste dokázali rozporu u reprezentovat

a tím původním rozsahem a texte si pod vzorkovali ten signál tak najednou tyči lenny

li vám tam budou něco dumě ta budou vám vyrábět nějaké lubo k zvuky které

tam původně neubec neměli být tohlensto je alias není

zatímco když si vezmete ten signál a napřed ho pro filtrujete filtrem a vy ste

se těch činelů zbavili nebo alespoň těch její vysokých frekvenci a ty nebyly reprezentované potom

použijete to podvzorkování

tak ten signál ztrati vysoké frekvence ale bude znít věrně bude znít bude zní

a o tady je druhý příklad téhož kde tady vidíme že s tady z sme

vlastně v dycky nám proběhla jedna perioda a kousek dnešní mez dostali další vzorek a

tady je

vlastně k to kdyby to k bylo dvě kde nám proběhnou

drže dvě periody jakou seka zase máme ještě hůř nesplněný vzorkovací teorém a zase z

ne to navzorkoval i uplně stejně

samozřejmě pokud se bude jedná to kosinusovku bezpočet teční fáze tak dyž otočím

otočím osu

tak zase budu dostávat i stejné

ty stejné vzorky takže ale tohle platěj i s pro spojité signály protože funkce je

sudá funkce

a ale takže obecně se dá potom napsat ještě že

že tu len sou kosinusovkou dyž na vzorku jo nebo takhlens ano vzorkované k ne

tenle navzorkovaný harmonický signál o rovná se ještě ji tady takovýhle navzorkovaný harmonicky si

když kým teďka půjdeme jak k od harmonických signálů zase k těm exponenciál koje komplexním

exponenciála které máme mnohém radějí protože se nám množ

vinou v nějakém třírozměrném prostoru a je to mnohem větší sranda toků potom vykreslovat takt

tak zjistíme že ta situace je úplně stejná

že

to co sme si deka řekli jo kosinusovka k prostě přesně úplně přes kopil a

bude platit

ok komplexních exponenciál a takže jestliže jemně jakýmu signál je komplexní exponenciála takt případě že

k tomu vlastně s tady s takovouhle

normovanou úhlu frekvenci a já k tomu přičtu celý násobek dvě pí

tak tahle sta nová komplexní exponenciála s navzorkovaná zást bude vypadat úplně přesně stejný o

zase uplně ten stejný důkazy jako zle viděli teďka pro tu kosinusovku akorát

se ty

máme komplexní exponenciálu takhle sečen roznásobíme to tím že s nám tady z úst vznikne

nějaký součet dvou těchle členu tak si to můžeme rozepsat

jako násobek dvou komplexních exponenciál my jsme předtím řekli prostě

kdy že tady dvě násobek v je p no tak sběru ten vzorek z nějaké

následující periody je ale ten musí být stejný jako když bych to zahodil

tady s tady deme ještě o krok dále říkáme když mám exponenciálu na něco plus

něco tak je to násobek dvou komplexních exponenciál a přímo když se podívám tady na

tohlensto číslo

tak tohle číslo je vždycky jí jedna

na je

násobek dvě pí je vždycky jedna tím pádem to číslo můžu zahodit

a zase mít r a vychází že

komplexní exponenciály

komplexně exponenciál

a zas

a tady nevalné ukázku

tollens tom ale

a ta si celku jasné tady bude ve my teďka ukázku zase jak skládáme

zkomplikují exponenciál kosinusovku

takže zase z známý vzoreček a tohle různé vydělí pro spojte signály kosinů s do

známy vzoreček jak se s komplexních exponenciál složí kosinusovka

všecko zůstává tak jak jsme byli zvykli jít takže tady z za si řekneme že

signál

tomle případě už vzorkovaný signál a n spojitý

který je tady takový l harmonických signál z nějakou amplitudou

povolá frekvence počáteční fáze

mužů reprezentovat tím že sečtu tady ty dvě komplexní exponenciály jo což vychází sto let

vzorečku tyhlencty dvě komplexní exponenciály kde

tady mám nějaké ty koeficienty c jedna a c mínus jedna co jsou obecně komplexní

čísla

kde vím že zase že absolutní hodnota těch koeficientů bude polovina amplitudy jo top polovina

je vůli tady tomu lomeno dvě tady tomu tole vzorečku takže c jedna c mínus

jedna je polovina amplitudy a

argument těch komplexních čísel nám říká počáteční fázi zase je to něco nebudu nebudeme si

to tady rozebírat je to něco co u ste měli chtěch slajdech pro spoje kdy

pro spojité signály

aby

víceméně potom co ste si pro brady fourierovy řady ja takové l věci tohle bývá

mělo být jasné ale že

že je můžu složit harmonický signál se dvou komplexně sdružených harmonických signálu kde tady nějaké

ty koeficienty c jedna c mínus jedna míre prezentují počáteční fázi ja amplitudu a

potom tady ten argument omega jedna míre prezentuje kulovou frekvenci když se to podíváme za

z jak to vypadá praxi tak tady máme nějaký příklad

komplexní s exponenciály toho kluk o tady k harmonického signálu který

má nulovou počáteční fázi amplitudu dva

a vidíte že sme kdy že amplituda tvá takt se jedná c mínus jedna je

jedná je to reálné číslo protože máme nulovou počáteční fázi

úhlová frekvence nám zůstává stejná jako byl tady u toho u té

původního harmonického signálu

tady vidím temp ty příklady t je těch komplexních exponenciál jedné a ta je komplexně

sdružené akorát se deka bavíme o diskrétních signálech takže tyto ne nějaká spojitá šroubovice ale

vypadá to mnohem je to mnohem hezčí tady ten obrázek ne čtených jestli zjis pomíjená

tech je s tam byla taková nějak a

klikatice která mocné byla a je jasná jak vypadá v tom prosto

takže tady jsme dostali dvě navzorkované komplexní exponenciály kdy že teďka vezmeme sečteme dohromady

tak v reálné ose dostaneme tady toto cože kosinusovka přesně co sme chtěli imaginární je

ose dostaneme nulu protože jsou to protože tady každé ty dva odpovídající vzorky si těhle

dvou komplexních exponenciál jsou komplexně sdružené tak mají opačnou imaginární složku ty se nám odečtou

a zůstane nám

zůstaneme a reálná kosinusovka no ale zase říkám i

přesně tohlensto ústech dělali u spojitých signálů kdy se skládala

kosinusovka ze dvou komplexních exponenciál

tady je to jenom ukázané teďka na nějakých navzorkovaných

navzorkovaných komplexních exponenciál a

ten stejný příklad

jenom vezme si ještě zavedli to že budeme mi nějakou počáteční fázi a tím pádem

tady ty koeficienty c jedna a c mínus jedná nejrušnější sou reálné ale dostávají tady

nějaký argument který vy pře reprezentuje to před točení

tady mě ta komplexně exponenciála ve srovnáni s tím předchozím obrázkem tady začínala

v nula jedna to i v jedničce na reálného sou se v jedničce tady teďka

začínání někde jinde kdy že se čtu dohromady dostávám kosinusovkou která ale

nemá

nulovou počáteční fázi takže nezačíná nahoře ale začínal někde

teďka s

chylku budeme mít těch jednodušší budeme se bavit o nějakých

docela

elementárních operacích s

diskrétními signály

takže kdo ste se ztratily integrálech tak se věk a tady na najdete s tramvaji

jak za chvílí uvidíte

poďme si zavez nějaké úplně elementární operace které budeme dělat s těmi diskrétními signály které

se nám budou hodit pro skládaní je čeho smysluplnější o

takže první jako a operace je že si zavedeme něco co nám s perioda nějakého

neperiodické jakéhokoliv

diskrétního signálu v kousne okno o n vzorcích

takže zavedeme jenom prostě okno r n které říka to má hodnotu vzorky dají ten

r n je zase ve navzorkovaným signál nebo diskrétní signál

nemá hodnotu jedna o od nuly do n mínus jedna

nebo pro ty vzorky indexem nula až n mínus jedna má nudu všude jinde

a dyž budu si chtít vy kousnout kousek takového l signálu od nuly

po a jen

tak ho prostě ten po signál jenom vynásobím tady z nějakým tím okýnkem h n

praxi toho tohlensto z neudělali ho zavedli jsme si takovéhle

takovéhle oko no které má všude nulu jenom

od nultého vzorku do teďka tady terra tím pádem n bylo asi devět protože n

mínus jedna do byla do to vzorku osum je to

je to jednička všude jinde nula a jediné co uděláme že to tyhlencty dva signály

pro násobím a dostanu takovéhle signál který tam a vy kouslý kousek should je to

nula jenom někde k

od kousek od začátku je

se nám

tady okopíroval ten původní si

periodizace posloupnosti

tady to máme

popsáno tákže

vezmeme

nějakou posloupnost velký na pece za tady se začneme bavit o tom že na z

budu právě zajímat jenom muže jaké dip posloupnosti nějaké konkrétní delky n o

takže

vezmeme posloupnost delky na když budeme chtít periody zouvat tak naopak teraz téhlens té posloupnosti

vyrobíme nekonečnou posloupnost

která chce jednoduše prost

po těch n vzorcích opakuje nic jiného to není

za ze no pokriví smysl chtěli nad win a na zapsat matematicky tak tá nová

posloupnost vznikne s té původní posloupnosti ták takže ji budeme indexovat n k kde tady

používáme modulu n to znamená zbytek po celočíselném dělení takže se nám ten index pořad

převrací

to co tady je na tom příkladu na tom slajdu je jenom pro délku čtyři

jestliže původní n bylo toto tak modul o po celočíselném dělení asi všichni víte že

začnu nula jedna dva tři ale tady

zase začnu

celočíselné dělení se čtverku nula jedna dva tři a tak dál takže si vlastně jenom

vyrobím

ty indexy pro na indexování toho

toho nového signálu si vyrobím takto vlasti a indexy u ten původní signál a víde

zperiodizované i signál zase jestliže jsem tady měl inom takovýhle vzorek o čtyřech vzorcích ten

tého obrázek má jenom reprezentovat i indexy do z nula jedna dva tři nula jedna

dva tři a tak dál a

tady víš tím na indexy mu ten původní signál dostávám tento signál který se mi

ji periodicky po čtyřech

zamcich opakuje žádna

žádná v je dat

tady jsme si zavedli abysme to zkombinovali tak sme si zavedli

periodické

posunutí posloupnosti takže dáváme dohromady dvě věci jednak když bychom chtěli posunout posloupnost

tak ji posuneme takto řekneme že

vezmeme tady tuhlenstu posloupnost a vyrobíme novou posloupnost která jakorát n m

n mínus a posunutá o m vzorku

no když budeme tady to periodické postup posunuti není z jiného než že řekneme mi

to terra posuneme o těch

m vzorků a pak to ještě s realizujeme s tím modulu m není tady je

zase k nic snad i složitého o nehledej o

takže

jestliže sme měli tollens to jem byla naše původní indexy í vzorku tak tohlensto by

byl to co sme kdy neudělali modulu o čtyři takty se nám periodického pakuj a

tady když vláme modulu čtyři

ten mínus dva tak se nám ještě

takhle o dva vzorky posunou že takže ta nula se posune sem jedna dva tři

všech n periodické ještě a dva vzorky posunout zas na hledejme vtom žádné

rád n

komplikovanosti

tady je zase jenom toho příklad tady jsme měli původní ten sekvenci taghle jej ty

takhle vypadá ta posunuta a

zperiodizované na a takže je zase vidíte že toto se nám tady periodicky opakuje ale

je to ještě proti sobě

tento vzorech se nám posunu sem a periodicky sto opakuje je to o dva vzorky

posunuté všech a

tak rizika

sem se ztratil

takže teď teďka čem ú čemu sme to vlastně všechno chyb

zaváděli

tak eště ještě nám to pořád nestačí ještě to pořád málo takto teďka eště všechno

zkombinuje všechno dohromady a zavedeme si

kruhové posunutí posloupnosti a to kruhové post posunuti posloupnosti bude to že si

to zperiodizujeme posuneme o pár vzorku a ještě s toho na konci vy kousneme zase

jenom tenleten původní počet vzorků jo takže tady z ve si jenom na kombinovaly všechny

ty operace které sme měli

posouváme periodizuje v kousneme s toho ten počet vzorku že to co nám sto na

konci vypadne je pohle o začal jsem

sta koule posloupností

teďka sem si to zperiodizovat posunul vykou snow to tímle oknem takže jsem dostal tady

toto a dyž se na tím zamyslíte co ste udělali tak neděláte nic jinačího než

jak jsem mám říkal o té tramvají že se to že se do ní podíváme

tak tady máme ten příklad

příklad toho

slavný slavná degan taktická pomůcka

docenta černockého ktera nej tak nebezpečná jako vás i vám ukazoval komplexní lahev kterou s

která je nebezpečná jestli c můžete vypíchnout oko tak tohlensto lepší

tak

ten neděláte nic jiného než tady to že

že je tady tenhlencten borec i uvědomil že je tramvají revizor tak si d rychle

koupit řidiči

s se stupen ku a s tím na dva borci vypadnou a

ti terra ale nechcu aby tramvaj ujela tak rychle utíkají zpatky else nastoupí na druhé

straně no

tak

takže

takže s

to je to je to co se tady děje o takže tak dle

takhle komplikovaně z ne popsali takou triviální věc jako že ti takže borci co vypadnou

tikají nakonec šaliny

teďka kterak čemu nám to všechno

všechno je

vůli čemu tady ty dva pánové si museli tady pro trpět patřila linii je s

to že se začneme zavádět konvoluci a vy jste slyšeli co to je konvoluce vy

ušel

vy už asi tušíte co o

o co pujde nicme je tady stech těch diskrétních případech nebudeme my jenom jednu konvoluci

ale budeme mít hned několik konvolucí a budeme mít nějaké konvoluci které budou dělat to

co chceme ale je ne tak jednoduše je spočítáme a budeme mít konvoluce které se

nám jednoduše s

spočítají pomoci nějakých diskrétní projekt transformaci

nicméně zase nebudou dělat o co chceme budeme se s tím u se nějaký pořád

takže teďka si jí jenom zavedeme ty různé kovů c

tak

první s těch konvolucí je lineární konvoluce a tady nární konvoluce vypadá úplně stejně tak

jak ste byli zvyklí tak děláme konvoluci mezi dvěma signály

akorát v ste u toho měli ste v nějakou diskrétní konvoluci nebo zatím spojitou konvoluce

a se spojí tou

takže u spojte konvoluce ste viděli že tady misto sumy byl nějaký integrál

a jinak se nám tady násobili signály měli ste tady nějaké té a nějaké ta

u mínus t a

a nějaké de

kde ta u

tak i

a spojme se zbavili integrálu a nějakých takových těch s prospěch písmenek jako deptalo vala

máme normálně pěknou

pěknou sumu ale kdy se ten vzoreček podíváte jak zjistit že to je úplně přesně

to stejné

jako by jako je klasická konvoluce

jestli tady ukradnu nějakej i kus papíru ták zase

ten původně víc costa je

vy ste si chtěli zkoušet děla nějakou konvoluci

tak ste si měli

tak

ste si mohli nakreslit nějaký signál

tady ukážu jesli uvidíte

to bude lepší

tak měli ste nějaké signály a říkali ste že když ty dělat konvoluci tak vlastně

tedy jeden musím čase otočí tak já jsou otočím eště si tvary překreslíme to vidíte

ta tak mám tady pozpátku takže jsem se otočil čase a dělali ste to že

ste vlastně dávali ty signály pod sebe a takhle sme vždycky pro každý čas

ste dostali nějaký překryv

a ty signály tak jak jsou nad sebou ste pro násobili a integrovali no

takže když ty spočítat

když sem chtěl jestliže

to kde jsem si udělal čáru je čas nula

slíže to grass sem si udělal čáru je čas nula tak dyž sem těl spočítat

konvoluci pro čas nula tak sem takhle dal nace betty signály

vynásobil sem je

sobě odpovídající hodnoty a s integroval sem výsledek

když sem to chtěl u udělat proč z jedna sekunda tak jestliže tady je jedna

sekunda od začátku

tak sem si to dal taghle vynásobil jsem to proti sobě syntax vala dostal sem

dostal sem konvoluci pro čas jedna sekunda

to co děláme tady není vůbec nic jinačího akorát že misto tady takové hole signálu

si bych si ta mohl napsat číslá ale protože já jsem línej psat třísla

tak si tady můžu udělat nějaké

nějaké vzorky

si udělám i tady nějak ať tak mě aspoň na sebe sedí

takže k

já mám k já teďka nemam ten spojitý signál l a mám nějaký navzorkovaný signál

takže každá ta tečka

může jenom si misto té tečky představte číslo přímo

nějáké a ja jediné co dělám je

že vynásobím ty s obědu je odpovědět c čísla všude jinde sou ty čísla nula

a takže dyby dá to tam chtěl

nákresy někde dál tak všude

čtení nemám iso na papíře takže

všude jinde nejsem i na které si ho sou nula takže tomle případě se mi

pro násobí toto číslo s tím prvním číslem pro nás ovými sem jak jsou nad

sebou

a sečtu ať a nemám co sčítat brože jsem dostal jedno číslo zbytek je nula

posunuta o když to chci pro čas n

posunu to o jeden vzorek taghle

pro násobím zase ty čísla které jsou nad sebou a sečtu je dohromady ji čtvrt

si proč s něco

posunu to pro násobím pro násobím ty čísla které jsou nace bod a takže jenom

prostě pro násobím čísla k sobě odpovídající seču je všechny dohromady dostanu konvoluci to je

to je přesně co mi říká tady tenlencten vzoreček no pro

zvolené

pro zvolené n ten jed obraťme ten signál ten jeden

je tu

půl pro násobme o mějme ten inet signál obrácený pro násobme ty sobě odpovídající vzorky

sečně dohromady

dostáváme

dostáváme přesně co z nechtě

a tady ta lineární konvoluce uvidíme že bude něco co

chce ne

a něco co vlastně

bude odpovídat stejně tak ví jestli si pamatujete co byla konvoluce skrček spoj bych signálu

k čemu to bylo konvoluce

co dělala konvoluce

a kdy jsme k kdy jsme udělali co zle s tím kolu vy

konvoluce děla přesně tak filt

tady dybych když pošlu diracův impulz impuls do

nějakého filtrů do nějakého systému

tak co mi vyleze ven je

impulsní odezva

takže když bych udělal teďka konvoluci impulsní v té je impulsní odezvy radio kováním pulzu

dostanu znovu k impulsní odezvu kordina když mám konvoluci z drakem

ten jenom signál zkopíruje to hned zas zase za kličkou vidim

ale když vezmu impulsní odezvu

jako výstup z lineárního

systému

a udělán konvoluci z jakýmkoliv signál

tak zjistím tak sem ten signál vlastně profiltrovat tak zjistím jaký s

jakýsi gramy poleze s toho filtru jinými slovy já můžu přímo reprezentovat filtry jednoduchý fir

filtr zase něco o čem se budeme ještě bavit tak t jednoduchý filtry já můžu

reprezentovat přímo tákže mám vzorky impulsní odezvy a dyž ty filtrovat tak dělám konvoluci s

impulsní odezvu

případě těch spojitých signálu se nám to

počítalo blbě protože tam sme měli nějaké integrály ja museli jsme

ty věci integrovat a mu museli meto počítat analyticky

nicméně tady vidíte že kus počítání konvoluce není nic jinačího neště

vynásobený nějakých řady čísel a nějaké sečtení dohromady jak že ta něco co muže úplně

triviálně na implementovat počítači

a ano

tady tahle ta konvoluce

bude zase něco co

čím by budeme moct implementovat jedno bych jednoduché filtry takže když si navrhneme jakou rozumnou

impulsní nějakou vědy s jeden je rozumu impulsní odezvu a udělali byzme konvoluci přesně podle

tole vzorečku

impulsní odezvy a nějakého signálu tak ten signál prostě pro filtrem aplikaci tohoto vzorečku

a tady ta lineární konvoluce je to co chceme protože ta opravdu realizuje

takovouto filtraci

nicméně my si zavedeme ještě další konví je konvoluce respektive nás bude zajímat nejvíc to

k čemu dojdeme

a to proč sme si je zavedli ú vidíme posléze a to vůli to může

zase u těch spojity signálů jestli si pamatujete

tak

konvoluce

čase odpovídala

násobení

spekter no

respektu na by násobně jak mě co frekvenční charakteristikou to mě řekne které frekvence chci

utlumit které frekvence chci z vynásobit ad odpovídá konvolucí včas e nicméně u těch diskrétních

fourierovy transformace u tech diskrétních signálu to bude trošku komplikovanější protože tam když s už

něco vynásobím ve spektru

tak se mně neudělá konvoluce včas e ale udělá se mi tak vana kruhová konvoluce

včas e

takže misek ja podíváme na to co taková konvoluce je

a tím pádem

co si nám to říká my nebudeme moc ti tak jednoduše filtrovat že byzme jenom

něco násobili ve spektru

protože to b nebyla ta konvoluce ta správná kterou my budeme chtít ta která by

dělala opravdu to filtrování

ale co si nám to zase napoví

co bude muset dělat jenže to bude muset dělat o něco složitěji a abychom dostali

ten kýžený výsledek ale k tomu všemu se

dostaneme po sléze takže sto jenom abys aby jsme věděli proč vůbec eště zavádíme nějaké

další

po black konvoluce když vlastně nedávají moc mě s

tak

tady tohlensto jenom příklad konvoluce laci to nebude ve

počítáte rom máme jeden signál dují signál

když bych teďka chtěl začít počítat u konvoluci

tak bych

tenle signál chci měl otočit

a můžu začít počítat něco takže

já tady je aspoň naznačím ten

začátek jo takže kdybych si ten signál otočil

tak dostanu

tady todlensto

a teďka můžu začít násobit ty

můžu násobit co byl odpovídající věci takže dostanu

toto krát o tohoto l jedná to l taky jedná vynásobím dostanu jedná

nic jinačího všechno ostatní se mi pro násobí

ty červené do modrých se mi tady pro násobí do nuly takže tady výstup v

jedna když se deka

o jedno

o jedno posunu

tak dostanu

ten otočený signál a o jedno posunutý jí dostanu takhlé

takže vynásobím jede jeden krát jedna plus jeden krát

dva je dohromady k tři

tak jestli se dobře dívám tady

tohlensto by mělo být měla by hodnota tři a tak dál a můžu dál posouvat

n signál taghle bych spočítal všechny tady tyhlenc je hodnot o

takže budu brát arity červene červené

půlky a budu je tak za poct

po posouvat k násobí co odpovídajícími hodnotami

s čítat do pro

tak tohlensto je terra ta

lineární konvoluce pořad a teď si pět se podíváme jak další

jaké další konvoluce

přichází v úvahu

tady si zavádíme periodickou konvoluci a

vy sme si vlastně tady všechny ty

g n z

operace zavedli hlavně uvuly tomu abychom se zavedly tu konvoluci vidíte že ta periodická konvoluce

je definovaná tak že vezmeme zase máme signály o doce na vezmeme ten i jeden

a ten když bude a počítat u konvoluci tak tady ji tomu budeme pořád vracet

zas budeme dělat o modul o takže ten jeden zperiodizujeme vlastně

už řekneme si že ten z jeden signál

zperiodizujeme a zase ho otočíme a budeme ho postupně posouvat a násobit s tím prvním

signálem

no takže

neděláme nic jinačího ne že bychom tu konvoluci dělali tak jak byla tady

akurát

já bych si denci zase kdybych si den signál měl otočí tak já si ho

tady otočím

ale já ho nejenom že ho otočím ale já si ho ještě sterilizujte

takže dostanu je

takovýhle signál a tak dále jo tak

tak to prostě pokračuje doleva jí doprava a teďka neděla mít z jinačího ne že

počítam konvolucí mezi tím prvním a posledním

jenže teďka vlastně můžu k se posouvat od nekonečna do nekonečna pořádně co budu dostávat

o pořad

pořad

pořád pro jakékoli sto posunutí vždycky tady tyhlencty původních vzorky mně se mně budou do

čeho si násobit

a budu pořád o dostávat nějaké hodnoty takže ta periodická konvoluce bude

nějaká nekonečná řada tady ta plynárně konvoluce sem viděl že me

někde začne jenom o respektive mohl můžu se dívat že to nekonečná řada libuna bude

se budou same nuly pak začnu stávat nějaké číslá pak zase budu dostávat some a

tady osám

samé nuly do začnu stával nějaké čísla zase dostávám samé nuly když s ty signály

ze sebe vědu

zatímco tady b dostával pořád nějaké čísla

ty ta otázka je kdy se na to podívám co to vlastně děláme o tady

já vlastně dělám konvoluci s tím že ten signál mim dále ze do začátku signálu

lapat mě

když mě začne vylízat s konce tak mě zase začne na lízat do začátků

toho stejného toho stejného signálu jaký to dává smysl nebo proč se něco takový je

uvidím se budeme bavit o těch of o těch fourierových

po diovi transformaci a že

k čemu si takovému potom dochází k dyž násobíme spektra

chtěl tady ovládám normální propiskou kdy s

tak

poslední věci je

kruhová konvoluce a kruhová konvoluce není nic jinačího než ta periodická kterou sme si zavedli

akorát a spočítáme za je zase jenom jednu periodu t konvoluce respektive vyřízneme no jednu

periodu toho výsledku

a to bude to co nás bude zajímat

takže

taková

jí jednoduchá

jednoduchá mnemotechnická pomůcka jak se dá tady takováhle

tak se daji tady ty konvoluce spočítat jsou

s je to tady popsané na tom dalším slajdu ale

když budu chtít udělat u

když budu chtít udělat u kruhovou konvoluci je tak já si vlastně můžu napsat

řekněme že by měl jenom nějaké

nějakých klidně posloupnost pěti čísel

já se z nakreslim napišu nějaké

bude tam dvě celé pět abyste si nemysleli ž že to musí být celé číslá

l ale

si já je mít zrodu noha ale zvuk

tak toho

mám tady nějaké dvě posloupnosti čísel

a mezi těma k ty spočívat kruhovou konvoluci vejcem s je napsal už vyloženě jako

čísla taktu nebo napřed ú periodickou konvoluci jo napřed chci spočítat tady

todlensto

tak to jednoduše udělám takže tu

zase jedno jednu řadu otočím kdy viděla tu lineární konvoluci vynásobím třikrát jedná

tady a dostanu pro první vzorek onuce tady vynásobím tří krát tři plus jeden krát

osum

to je hrozně velké číslo sedmnác tak to by byl druhý vzorek onuce a tak

dál a takhle bych pozor spočítal pro ty všechny překryvy a skončil by a to

byla ta lineární coats pro tu kruhovou

prý potřebuju sešívačkou ale k vy co strž stejně šikovně jako já tak to můžete

udělat i tak ve normálně rukama

si to sto tak šikovně jako ja tak sem to si nepovede protože

tak je ta

a podstatě cop co děláme u té

které lidské konvoluce je že sme si udělali takhle takovéhle dva dvě kolečka

teďka toto to se teda po hrozně blbě čte musíte tak různě s

otáčet ale prostě vo co de je ty čísla které jsou teďka nad sebou pro

násobím

sečtu

otočím o jedno písním o jedno číslo co je nad sebou pro nás ovji všechno

sečtu a takhle otáčím kolem dokolečka a samozřejmě

můžu otáčet do nekonečna a proto s toho dostanu periodickou konvoluci která

která je zase nekonečná řada nějakých čísel

u té kruhové konvoluce

nejde o nic jinačího ne že začnu takže dám nulu nultý vzorek nutnému vzorku

spočítám otočím o jedno spočítám aleš dojdu do toho posledního vzorku pro si otočím jenom

jednou kolem dokola a skončím aušus šušňali zdál neotáčí

aby dostal jenom jednu periodu ste kruhové konvoluce ale to je to je všechno tak

takhle

takhle se to počítá

k čemu to bude dobré uvidíme posléze

se podívám kde sme

dobře poďme

chcete udělat přestávku teďka nebo je nebo ještě zvládáte chcete ještě pozdě

kdo je pro přestávku

kdo je proti

tak vy co ste proti tak tady zůstaň ty a budeme si něco povídat eště

dál dat rámec tohle kurzu a ostatní ty pro tu dat

poďme se do to pustí dal

takže abychom se lasem vrátili k nějakým

nějakým integrálům které máme rádi tak se nám tady začnou

tak kličku objevovat

takže vy ste mužstvy

snad posledně řekli že

že pokud

se podíváme ná s

s ná

spektrální funkci vzorkovaného signálů

takže ta se bude

že ta bude vypadat takto

co žije což neříkal nic jiného než a se bude periodicky opakovat

s ten vidíte že je

z zase tak jak se na to dívám tak se na tak se na ten

na to spektrální funkci díváme jako na nějakou spojitou funkci díváme se díváme se na

to teďka n jako na je že máme ten navzorkovaný signál který je vlastně navzorkovaný

těmi diracovým í impulze vy

a takovém případě l že

pro ty teď tomu okamžiku pro nás je ten navzorkovaný signál spojitý signál který je

ta sada diracových impulsů a to co vy ste si ukázali je že jestliže se

měl nějaký ty nějaké původní spektrum nějakou původní spektrální funkcí x tak potom co jsem

to navzorkoval

tak ta nová bude

a lze se bude tak to bude takovýhle součet těch posunutých verzích

t spektrálně funkce takže se bude

bude se periodicky opakovat

jestliže o pakuje se mi z nějakou periodou která kde ta perioda je

tady to omega jedna

jestliže je ta funkce samotná

jestli dvě ta funkce samotná bude širší nešla periodách že takže jestli jestliže ja tvrdím

že puk ta původních spektrální funkce vypadala takhle nějak řekněme modul toho tyto mělo být

symetrické

tak ste o takže by vypadal ad

čím na tím ú

takže původních

původní funkce hosta nebudu překreslovat

původní funkce řekněme spektrální vypadala takhle nějak

řekněme že ta perioda s kterou se to opakuje je tady

nějaká a takováhle

tak

tím řekněme daný postavy někde tady když tady k tomu len co mu do lidé

začnou se mi ty věci takhle periodický opakovat

a já to budu všechno sčítat dohromady tady tou sumou ale dojde mi k čemu

co sem to zrovna tady nakreslil

dojde nick aliasingu že je vlastně byl dojde k to může že to vzorkovací perioda

to co odpovídá tady tele uloven frekvenci vzorkovací úloha frekvence vtom leje menší než e

nežije nebo nejvyšší frekvence je větší než e plyne že polovina tady té úhlové frekvence

takže semni věci začnou překrývat

my typicky jak nesou jsou tam zase bavili

ta koule situaci nebudeme chtít asi připojil připustit a budeme chtít mít

budeme chtít mi nějakou ú spektrální funkci která je kdyžtak odfiltrována a pokud možno aby

ta vzorkovací plyne byla taková by se mi věci

asi moc

moc stále k o

aby se mi věci takhle opakovali periodicky ve spektru takže

říkali jsme si např když na vzorku signál spektrum co začne to do dycky opakovat

to je k i

klasika kterou tady uvidíme

kdy že něco

navzorkovaného té jedné doméně když něco diskrétního na vona vzorkované f jedné doméně včas e

tak sem je ve spektru něco periodicky opakuje

když je něco

čase periodické jeho

takže budu mí nějaký harmonický signál

čase zjistím že z dost do zašil dostávat nějaké diskrétní čáry parohy

dyž čase budu mně co periodického respektu začnu dostávaj nějaké diskrétní čáry spektrum nebude spojité

ale bude

bude to jenom nějaká řada je viděli vědět viděli jsme že když tam fourierovu řadu

nějakého periodického signálů tak dostanu nějaké koeficienty fourierovy řady to jsou nějaké diskrétní koeficienty když

sme udělej naopak pojedou transformaci

že jakého neperiodického signálu dostali jsme spektrům které bylo

t bylo spojité těchto bude taková věc která by nás měla s když mám něco

včas e

periodického

ve spektru to bude

a k diskrétní

když mám včas se něco

diskrétního

ve spektru to bude periodické takže platit o platit o tam kdy zpátky

vidíme to tady ještě

takže máme navzorkovaných signál

tech my se rizika meno problém je že mi většinou vidíme jen o ten navzorkovaný

signál my nevidíme ty hodnoty

mezi vzorky my vidíme jenom ten navzorkovaný signál a přitom byzme chtěli začít dělat nějakou

spektrální analýzu takže chceme začit dělat nějakou spektrální analýzu toho našeho navzorkovaného signálů nevidíme jak

vypadá ten původní signál

takže my já si nemůžu úplně tak dost dobře udělat to že vezmu původní spektrum

a to si takle na opakuju protože a nevím jak to původní spektrum nevypadalo já

vidím jenom ten navzorkovaný signál tak poďme víc toho signálů a poďme s nim podnět

smím začít nějak

čarovat takže jak bude vypadat n a vzorkovaný signál my sme si řekli zase

zaveďme si to takovéto ideální matematické vzorkování jako že ten navzorkovaný signál je vlastně ten

původní signál vynásobený sekvencí diracových pulzu jinými slovy

původní signál

v násobený tímto kde tady ta suma jenom nekonečná suma

kde tohlensto mám by jako vek diracovým pulzy které jsou včas se rozmístěných čase nula

včas e té včas se dvě t a tak dál

periodická serie diracových půl tu

jsem zase na si až

a my nějaký obrázek

takže

máme serii dávkových pulzu tady z sme si tady jsme se jenom roznásobil i jen

ozve vynásobil i tady do té sumy

takže můžeme se na to vlastně podívali jako že ten jako že ten s kým

nový

de navzorkovaný signál je vlastně no my jaká suma těch původní hodnot těch chtěch hodnot

těm vzorků

to jediné co víme vynásobeny jí vynásobme diracovým tím

takže s tohle s čím my budeme pracovat máme navzorkovaný signál

který můžeme reprezentovat jenom těmi hodnotami

hodnotami ji vzorcích ale budeme to vidět jako spojitý signál

který je

který má diracových pulzy chtěch místech tě vzorku pro tu já jsem říkal

my tady budeme uděla takový ten chorobně co mezi o my se tady tváři že

máme navzorkovaných signál ano já ten navzorkovaný signál vlastně dokážu s reprezentovat jenom tady těmihle

čísly

ale abychom teďka tady na ty čísla dokázali použit ten aparát který už nepoužívali

ná spojité signály do peťka

tak

tak si zavedeme ten navzorkovaný signál i jako jakýsi den spojitý signál který nula najednou

diracův impulz nula na jednu nějaký diracův impulz nějakou mocnosti a zkusíme teka tady ten

takovýhle spojky signál

s pracovat s něčím co ušli jsou šumím

a pošleme na to pojedou transformaci

to je když se tady podíváme máme tohlensto není cena čili fourierova transformace že je

tady

tady teďka to co vidíme je

všech závorkách co sme si zrovna teďka zavedli jako navzorkovaných signál jenom ta suma vzorků

k násobený diracovým infuzi

to co je kolem není nic jiného než vzoreček pro fourierovu transformaci

teďka

teďka s

klasicky co můžeme udělat i je

především co je tady ten další krok

aha

s to a tady ten další krok z jedinou změnu kterou z neudělali je že

tady ten toto to telefonuje ve transformaci z mesina v nahradili jí ještě zase ten

spojitý čas sme si tady zase nahradili ještě i na vzorkovanou komplexních exponenciál o

protože proč že n proč n brat jenom ty vzorky té komplexní exponenciály protože tady

ta komplexně exponenciála se nám násobí do toho signálu který je stejně pořá bull a

jenom chtěch některých těch některých vzorcích

nabývá

nabývá nějaké konkrétní hodnoty bylo takže tady sme si nahradili i to t

za n t a dostali jsme

dostali jsme ekvivalentní vzoreček tady to mulem s tomu takže tole pořád fourierova transformace kde

tady nějaký signál násobíme dokem komplexní exponenciály protože ten signál má hodnoty jenom některých místech

taky tu komplexní exponenciálu si můžeme reprezentovat jenom jako exponenciálu

která vlastně už není exponenciál ale které má nenulové hodnot je no v některých místech

teďka další krok co uděláme jo tady je dobu do tady tohleto co sme si

před chviličkou změnily že

integrál když udám integrál nějakého signálů

přes s a

co to je tady tenlencten vzoreček

před chvílí jsme se o tom bavili co tady co tady počítam

mám nějaký integrál nějakého signálů a délková impulzů který je

ne n t d r tak to je konvoluce

a dělám konvoluci mezi signálem

a posunu tým by jako vím impulze

takže

takže když udělám

když udělám konvoluci mezi signálem a posunuty mi diracovým impulzem

tak co do stanů je

hodnota toho signálů tom místě kam je posunutý ten diracův impulz vo ten kdy kuřim

pulzy včas e ta u

tak já dostanu hodnotu včas at aut

logicky protože když tady tohlensto udělám já mám já vlastně tím diracovým impulzem mám signál

diracův impulz který někam po ten signál posunu

vy kousnu jan tu hodnotu s toho daného místa přeintegruju to dostanu

dostanu tu danou hodnotu toho signálu k tom dané místě vtom diracův takže když si

uvědomíme že

že konvoluce d taková impulzu a signálů

vlastně jenom ta hodnot

jenom ta hodnota

toho signálu včas se ta o tak když vezmeme

tenle vzoreček

tak

aha tady to váš tě rozepsáno pro jistotu takže první řadě tady tomhlenctom vzorečku budeme

prohazovat pořadí sumy je integrálu to je něco co můžeme dycky udělat dyž máme několik

sumě několik jsou může ve pro vyprovodit jejich pořadí

velmi nezáleží v jaké pořadí věci sečtu v integrály zase jenom

nějaký jsou čet

takže tomhlenctom případě prohodíme pořadí sumo integrálu tím pádem dostanu k integrál tady s toho

co vidím ve vnitř

to znamená dostanu integrál tady s tohoto

a tady si zase

jenom uvědomíme že

aplikaci tady touhlenctou vzorečku

dostanu okamžitě tady tenhle výsledek kilo

za starý dělám tu vlasně tu konvoluci s tím jinak m

takže dostanu tady tenlencten vzoreček

takže když prohodím tady tyhlencty dvě sumy

a pro provedu ten integrál tak mi vevnitř s bude

jenom tady po to

takže co sme to

čemu sme to teďka vlastně došli se podíváme chtě

co tady máme takže dostaneme

tohlensto je vzoreček který nakonec z dostaneme o

takže

my sme neudělali nic jiného než z že sme opravdu vzali

náš navzorkovaný signál aplikovali jsme na ni fourierovu transformaci

toto nám vyšlo takovýhle nám vyšel výsledek takže vidíme že najednou já jsem schopný spočítat

spektrum toho navzorkovaného signálu

jenom co mi tady zbylo já jsem to ství co je co já potřebuju vědět

je jenom tady tahle s hodnota

a tady tahlecta hodnota není nic jinačího než i jenom zase ty hodu hodnoty s

těch vzorcích toho signál o

takže

tady tímle jednoduchým du kazem sme si došli k tomu že já mě opravdu stači

vědět i hodnoty

hodnoty signálu ve vzorcích a já jsem schopný spočítat

spektrum signálu

poďme si teďka ještě uvědomit co terra vlastně já mám a co dostal tady

tady vidím že ten spektrum toho signálu není nic jiného než e nějaká suma komplexních

exponenciál násobených těmi vzorky toho signálů

takže to je ně tohlensto je něco co se dá spočítat nicméně

tady té jsou mě figuruji ně jenom nějaké hodnoty jenom nějaké čísla to sou ty

čísla k

toho navzorkovaného signálu čísla těch vzorcích

ale co je tady toto

co je ten výsledek

co je to spektrum tom co sto

to je pořád nějaká funkce ještě navíc komplexní o takže tady já mě do toho

sice leze

sada čísel která do to hodím ale vypadne misto u pořád nějaká k spojitá komplexní

funkce

takže dobře ty já už je dokážu spočítat nějakou spojitou komplex komplexních funkce ta funkce

není nám nic jiného než suma nějakých funkcí

ale

pořád je to něco s čím sem ji ještě k

jako takový počítač í nebude dobře počítam není to reprezentovaném nějakou dcerou čísel to je

něco do čeho bychom je rádi ideálně

došli

zase ta d se o otáčíme dokolečka to stejné co z neviděli do teďka takže

budou z zase tady tomlectom okamžiků vidíme že je že máme pořád nějaké o nějakou

hodnotu x čase n t ale my budeme chtít zavést u naší normovanou

normovaný část jenom nějaký vzorek n takže z vy normalizujeme si to časem budeme chtít

zase normovanou booleovou frekvenci místo

téhle

omega n t budeme chtít zavést adit ú normovanou booleovou frekvenci a tak dále ho

takže není

není s

se s ní to nic jiného nech jsou z neviděli když si provedeme tady tohlensto

normování takt tento vzoreček můžeme přepsat

na tady tenlencten vzoreček

tak a tady ten sem vzoreček

tenlencten vzoreček je

je něco čemu říkáme

bude a ja si netuší přídu na ten další slajd kde ten vzoreček máme s

opakovaný

podívá misty tam je vůbec nějak

bylo by to stejné takže

tady máme ten lancem vzoreček s opakovaný

který

který je mu které cože něco čemu říkáme fourierova transformace s diskrétním časem neboli

kdy skrytá děkuje transform

jinými slovy

nepočítá to nic jiného než že máme navzorkovaný signál a chceme sto spočitat fourierovou transformací

takže ta tohlens to

tohlensto misto roztává vidíme ano když mě někdo dá navzorkovaný signál

já sem sni schopni spočítat fourierovu transformaci a sem schopný sto spočítat jenom z hodnotě

vzorků a

tady u zase za používáme nějaké

nějaké úzce budeme vlase bavit o nějakých normovaných uloví frekvencích a tak dál

takže vy zase dyž tady použiju normované úhlové frekvence víde mi něco co bude v

nějak kde budu mít nějaké spektrum normovaný kulových frekvencí ale já když ví jaká byla

vzorkovací frekvence dokážu c vždycky výkresy to spektrum i

se s tím že tam že tu osu usadím těmi s korektními frekvencemi tak jak

byly vtom původním

tom původním signál a tak dál původní metoda set budeme to budeme to tady přepočítal

tahle msta

funkce

periodická

to primář značíte na tady ta tilda nut na tím x

funkce periodická protže ta funkce periodická

čeho to vidím že ta funkce bude periodická

tak za prvé je jednak já jsem řekl tu poučku kterou byste si měli pamatovat

a to nic led ukazuje že když mám něco navzorkovaného včas e tak budu mí

něco periodického

ve spektru a to je přesně tady den případ máme navzorkovaný signál spektrum budete lické

ale hlavně já vidím že tady dělám nějaký součet komplexních exponenciál a komplexní exponenciály jsou

periodické funkce takže

já když posčítám

posčítám nějakou s sumu komplexních exponenciál na různých harmonických tak nutně ten výsledek zase musí

být

zase musí být nějaká periodická funkce jo to stejné jako víš sme

rozmnožili signál fourierovou řadu du do nějak na nějaké koeficienty a s těch koeficient stůj

sme s zase mohli složit fourierovy řady

spojity ji k

periodicky signál dyž se tady na to podíváte tak mimochodem tady tenlencten vzoreček

rozklad

nepřipomíná fourierovou řadu k tomu se štědrost a

ještě by vám podle tady tohle měl říc

a k tady máme nějaký back up příklad kde si jo kde se podíváme na

ty na té různý na ty různé normování osy z zase d se vrátím eště

o dva slajdy ji

tady

o tři stlaní tady bylo řečeno že když mám nějaký původní signál tak ten navzorkovaný

signály je tady ten posunuty signál

krát jedna lomeno p j takže si zapamatujeme tady že

se tam objeví nějaké jedna lomeno p poďme si

to sme si dokazovali posledně to na toto je něco co tady jenom chceme co

tady chceme jenom tady k tomu lenz on příkladu za že tohlencto příkladu máme mít

obdelníkový impuls delky devě diskrétní obdélníkový impuls delky d to znamená chápeme že

bude devět těch

půl z ú nebude větvi diracových pulzu nebo prostě máme devět čísly jako devět svorku

že sme měli ten obdélník navzorkovaný vzorkovací frekvenci osm kiloherc

šířka obdélníku v normálním časem měla být devět t

t byla perioda

výška spekter

pokud bych signál nebyl vzorkovaný b byl d

f ta co žije

něco co o vy ste si ušít dokazovali zase někde chtěch při věžích

dřívější příkladech

nicméně tím že je tam vzorkovaný jak sme se deka podívali tak musí vynásobí není

tím jedna lomeno t

a první

a je to ledy měla výška první dotyk se spektrální funkci ji sou spektrální funkce

s osou omega by měl být

pro obyčejnou kruhovou frekvenci nastat tady ji

takovéhle kruhové frekvenci hote zase mi

něco co ste se odvozovaly takže jenom tady na základě těhlenctěch odvozeni kterou s pro

bělí někdy dřív

jestliže mám tady takovýhle obdelníkový navzorkovaných signál

tak jeho spektrum má vypadat takle ho ta výška má být která těch devět a

má se dotknout

dotknout osy tady

téhlens kulové frekvenci dvě pí

to je ta cože

co sil

takže bude vypadat adit takhle ta frekvenční charakteristika

tetě

já sem už u dívat ná na tu normalizovanou frekvenční charakteristiku

a ta terra když tě bude dělá na tu normalizovanou tak ta nutně

tady musí mít dvě pí

že tady musí být dvě pí protože

protože i jedna perioda prostě musí být dyje

pardon tady bude p protože jedna perioda musí být dvě pí

takže tady tohle mstou musí být šest celých dvacet osm což nám tak nějak vychází

protože z na té normované úhlové frekvenci

ale můžeme si spočítat kyji

tu původní úhlovou frekvenci právě tím že

vezmeme tady ty vzorečky které sme viděli ja a co teda uděláme dyž ty normální

volu frekvenci dat vezmu to normovanou a vynásobím toho vzorkovací frekvencí

měl bych dost a toto si ho takže tohlensto

tohle vynásobím osmi tisíci a měl bych dost a tady nějakých nula celá pět na

s krát deset na pán tu

no takže zase

držet cihla v je to že já můžu použila ty normované úhlové frekvence a to

je s čím mi klasicky budeme počítat s těmi diskrétními signály ale i když vím

jak ten signál byl navzorkovaných dycky si můžu

vykresli k spektrum i pro ten pro ten původní si v

to uplně ten stejný obrázek akorát sme si že se podíváte tak ve si a

se jenom přepsali osy a chceme tady mít normalizovanou frekvenci takže jestliže uhlová frekvence periodě

měla dvě pí tak ú normalizovaná frekvence

periodě bude mít jedna

a ta skutečná frekvence

periodě bude mít osm kiloherc protože vzorkovací frekvence byla osum kilo h

tady je tedy to co s to co sme si ukázali periodical ta spekter

musí být normovaných frekvencích dvě pí

obyčejných pro frekvence

normovaných kruhových frekvencích dvě pí obyčejných kruhových frekvencích

dvě pí krát vzorkovací frekvence v noro normovaných frekvencích

jedná obyčejných frekvencích

frekvence té přesně to co sme si tady

na to sme se tady pit dívali ji

tady je to

dvě pí tady je to

dvě pí krát vzorkovací frekvence tady je to

jedná

a tady je to vzorkovací frekvence

tak tady je s

zpět takhle by vypadala potom zpětná fourierova transformace s diskrétním časem

beztoho aby jsme si to nějak odvozovaly ale s

zase vidíme že teda nutně jestliže ta

fourierova transformace s diskrétním časem mi dala z diskrétního času

komplet

komplexní spojitý ji

spojte spektrum tak na to abych šel do to diskrétního času vidíte že se tady

objevil nějaký integrál abychom integrovali přes tu

přes tu funkci tak zase suma se změnila na integrál

tady se změní znaménko jinak vzorečky vypadají velmi podobně

a logicky dary s tohlensto ho spočítám zase hodnoty těch jednotlivých vzorků

zpátky takže

jo tady ještě jenom poznámka že s tomle případě zase vidíme že integrujeme přes jednu

periodu respektive můžeme integrovat přes kolik c f ale pak by jsme měli ještě

normalizovat počtem perry jo

takže in i ten vzoreček je napsaný takže integruje přes

přes jednu periodu

samozřejmě o stačí ostatní periody jsou stejné protože ten signál e petr

a tohlensto ho znovu

to co sem říkal

diskrétní fourierova byly diskrétní tram

disky tankuje trasou diskrétní fourierova transformace s diskrétním časem je periodická protože signály je diskrétní

je to

funkce spojitá protože o mac

pro všechny omega protože signál je jakýkoliv není periodicky se tím chtělo říct

je jenny jedná ale můžeme ji zobrazit se různými frekvenčními osami do je to jsou

ty věci které jsme teďka

diskrétní fourierova řada takže patch své viděli diskrétní fourierovu transformaci z diskrétním časem

když budeme být periodické

periodické diskrétní signály tak můžeme stejně tak jak to blues spojitých začít počítat fourierovou řadu

tady říkáme že zase

tomle případě

signály diskrétní takže ve frekvenční oblasti budeme očekávat něco periodického signály periodický takže ve frekvenční

oblasti budeme očekávat něco diskrétního nějaké čáry

a teď už to právě začínají za začíná být zajímavé protože

teď se dostáváme k něčemu kde

tom původním signále původní signál bude reprezentovaný jenom nějakou sadu čísel

a když udělá ne fourierovu řadu sto spočítáme tak zase dostaneme jenom sadu čísel

a už tam není vůbec žádný nic spojitého žádný nic to visa museli dělat

analyticky

nebudou tam vůbec žádné integrály

už dál už tady budu jenom same sumy

a je to něco co se nám co zase bude ve schopni jednoduše na plato

a takže

začínáme mít mě co

jak ve spektru tak čase v něco bude periodického jak ve spektrum tak čase něco

bude

bude diskrétního

to znamená všecko se bude dá popsat nějakým konečným počtem čísel které budou v rámci

té jedné periody ať už čase nebo ve spektru

pak je za zase si tady jaký ať tušil tlamu po tisíce ty bude ve

viď nějaký nějakou periodickou posloupnost

a zase si budeme definovat nějakou základní kruhovou frekvenci omega jedna

což bude tomhlenctom případě dvě pí lomeno počet vzorků po kterých po kterých se mi

ta pride začne opakovat

a tady máme nějakou nějaký příklad

kosinusovky

co to máme

kosinusovku perioda máš periodu má šest na do roků uhlová frekvence

je taková ta smysluplná to znamená dvě pí lomeno šesnácti víme že to bude terra

jsou pak uletím pádem po šesnácti vzorcích

můžeme zapsat n signál jako kosinus dvě pí osmi je bod dvě pí šestnáctin

krát n

tuhlenstu kosinusovku víme že dokážeme rozdělili ten a na ty dvě komplexní exponenciály

takže dokážeme jí rozdělí dna

jednu polovinu

jedné komplexní exponenciály která má stejnou úhlovou frekvenci a jednu po ext polovinu druhé komplexní

té komplexně sdružené exponenciály

které má stejnou úhlovou frekvenci takže zas dyž to uděláme

rozložíme to tady na ty tylenty dvě komplexní exponenciály víme že když tyhlencty dvě komplexní

exponenciály sečteme zase nám víde

reálný signálek který bude

který bude prostě ta hlen sta naše původní kosinusovka

ta teď se na to podívejme terra co

jsou vlastně dostáváme o tady máme

rozkládáme na vzorkovanou kosinusovku rozkládáme do

navzorkovaných komplexních exponenciál

o které když se čněme dohromady tak sto dostane původně navzorkoval kosinusovku

co je co tady vidíme je že prostě pro popis tady téhlens p komplexní

po pro popis tady té diskrétní kosinusovky nám nakonec stačí

si zapamatovat jenom amplitudu a

a tady tu úhlovou frekvenci to znamená jenom vlastně nějaké pitvě komplexní čísla které nám

které nám popisují

které nám popisují amplitudu nadán na dané na d n úlovek frekvenci a to je

všecko ho takže

zase

budeme

diskrétní kosinusovku dokážeme poskládat c dvou diskrétních komplexních exponenciál

teďka kdy budeme chtít dělat dyž budeme chtít poskládat libovolný

libovolný periodický signál tak ten prostě budeme skládat s tím že nebudeme že vo nebudeme

skládat se dvou komplexních exponenciál

ale budeme rok skládat s komplexních exponenciál jejíž

jejichž úhlové frekvence sou na různých

násobcích té základní jí základní úlu úhlové rychlosti

tak

takže ten s když bychom chtěli sestrojit nějaký periodicky signál

tak ten bychom s nějak ju

s toho nějakou rozkladu nebo říkáme very že jakýkoliv signál vlastně budeme reprezentovat

jako sumu

komplexních exponenciál ty komplexní exponenciály

nám kmitají na

k násobcích té základní úhlové rychlosti která de základní u ten základní uhlový kmitočet je

dvě pí lomeno n

ty nám kmitají na násobcích tady tohlensto ho

a tady tyhlencty komplexní exponenciály my

zase budeme

zase na budeme násobit nějakými koeficienty což budou koeficienty fourierovy řady

tyhlencty koeficienty zase obecně budou

komplexní čísla

a ty komplexní čísla nám zase budou vyjadřovat amplitudu a

počáteční fázi

těch jednotlivých složek tě jednotlivých komplexních exponenciál tím že to všetko sečteme dohromady

nám vyjde nějaký výsledný

výslední signál

tak teďka

vidíme že

tři fourierovy řady říkali

my budeme mít

my budeme skládat signál z nějakých

komplexech exponenciála dycky tam budou

dvě komplexně sdružené exponenciály které když seču dohromady tak jsem jeví mizí imaginární složka z

bude mít a jenom něco reálného pro ten reálný signál

tady a takže z ne vždycky sčítali nějaké koeficienty který tam byl kosice c jedna

c mínus jedna a

c dva akce mínus dva to byly ty

komplexně sdružené

koeficienty

tady tetě a tady byla nějaká suma která šla odtud

záporných čísel do k

kladných čísel tech tady tohlensto nevidíme o tady tahle sta

jsou má která nám tady říká

n rovná se nějaká množina

tak rovná se nějaká množina neříká že budeme

čí ta

přes

nějakou množinu n čísel kde to kde to n je

vyjadřuje kolik máme vzorků vtom našem té jedné periodě takže budeme

s čítat cosi přes tolik vzorku kolik mám m

budeme s či a tolik komplexních exponenciál kolik jich máme v jedné periodě

ale uvidíme že

že tvoje jenom speciální případ toho co už sme měli k pro ty

pro klasickou diskrétní fourierovu řadu že z v rámci tady té množiny tam zase se

budou objevovat nějaké komplexně sdružené

zdroje n složky k té které když budu sčítat dohromady tak jsem i vyruší

vyruší imaginárním

imaginární části

tak takže

zase tenhlenc sem vzoreček tak jak je tady vlastně napsaný je inverzní diskrétní fourierova řada

to znamená já tady tímle vzorečkem rekonstruuj ú

signál

z nějakých z nějaké z nějakých koeficientů fourierovy řady kdyby chtěl ta vzoreček pro fourierovou

řadu tak ten je tady napsaný

dole o té tady tenlencten

kterým naopak říka když tě nakrmím tím v když tě nakrmím tím

navzorkovaným signálem

v jak budou vypadat i koeficienty fourierovy řady

takže tady vy teďka vidíme ty dva vzorečky vidíme že zase je tam cosi co

už n viděli podobného u fourierovy řady za zříkám jinou fourierovy řady

vždycky jsme dostali nekonečný počet nějakých koeficientů a dobře počítali jsme kdy jsme dělali kodérů

řadu tak z neměli zase počítali něco přes jednu

periodu ale protože z neměli spojity signál tak to museli je to integrovat

přes nějaký spojitý signál zatímco tady máme

tady map parou tady bych to měl ukazovali do tady jsme měli spojitý signál tak

z nemusil něco integrovat

a potenciálně sme dostávaly nekonečný počet koeficientů fourierovy řady

pro vyšší a vyšší a vyšší harmonické které tom signále mohly být zastoupené

nicméně tady okamžiku kdy se pohybujeme

z diskrétním signálem tak s

s ta ten integrál i nahrazený sumu

a nebudeme ani nic

takže ne integrujeme nic s pojď jenom něco posčítám e

a ne budeme dostávat nekonečný počet tady těhlenctěch

hor těch

koeficientů fourierova že kdy respekt můžeme ji dostane konečně počet ale ona ta funkce je

na se periodická takže nám stačí spočítat

jenom jednu periodu tady těhlenctěch kofi centů a víme že ty další se zase už

budou

pouze periodicky opakovat takže vidíme že tady vlastně potřebujme provést nějaký jsou čet

přes jenom jednu periodu těch čísel tam bude n čísel takže provedeme nějaký

vezmeme n čísel z jedné periody ji a násobíme je tady z nějakými komplexním exponenciál

a my ji

ale pozor ste je komplexní exponenciály mi taký bereme jenom jednu periodu té komplexní exponenciály

anny berem jenom nějaké vzorky té komplexní exponenciály takže tady už není žádná spojitá funkce

zady to mens to místě

všecko se dá spočítat tollens to jsou vzorky které jsem dostal tohlensto jsou nějaké vzorky

komplexní exponenciály ladila dělám sumu jenom přes n čísel které s b je těch n

čísel z jedné periody

může tohlensto počítat pro různé k

ale já zase vím že když pudu odkad nula jedna a n mínus jedna

tak spočítám všechno a pro k rovná se n us mě zase věci začnou opakovat

to že se mně začnou opakovat zase vychází s toho že já tady začnu dostávat

celé násobky ji dvě pí takže všechno se mi

ty komplexní ty navzorkované otou sme se bavili že když z když před lezu přes

když i když začnu zvyšovat tady two

úlohou frekvenci u komplexní exponenciály

tak z m viděli že když vlastně přes třeli vzorkovací teorém tak už zase začil

dostat komplexní exponenciály které vypadají úplně stejně

jako byly ty komplexní exponenciály pro nižší frekvence takže

já vlastně tady když pudu teďka s tím káčkem od nula du n

tak budu dostávat nějaké komplexní exponenciály ale když to k přestřelil in

a u do vezmu tu vezmu z dosadím za k n uši jako by ten

další vzorek tak zjistím že úst dostávám zase tu stejnou komplexní exponenciálu kterou se měl

a tady jsem i něco začíná

tady ten vzorek u se mi zase začíná periodicky opakovat no

takže to stejné to co sme si ukazovali úplně na začátku že

harmonicky signál vtom na případě komplexní exponenciála která má jinou úhlovou frekvenci

ně nakonec po navzorkování může vyjít úplně stejně

přesně to se mi stane tady

když tady když tady dosadím

za k dosadím n tak se mně tady

po krátí to n a k

a zjistím že to je to stejné

že dostanu tu stejnou komplexní exponenciálu jako kdyby

jako kdybych

měl

n nastavené na jedničku že budu

push budo v dostávat n stejni navzorkovaný signál

a tím pádem ten

ty koeficienty fourierovy řady jsem i začnou zase periodicky opakovat no

takže uvědomme s jenom rychlá reka plot tace

tady všecko dokážu spočítat mám sumu

jsou můj o přes maximálně n vzorku které mám v jedné periodě signálu všecko co

se tady objevuje je

je diskrétní

když bych to chtěl počítat přes když bych chtěl počítat o hodnoty můžou počítat hodnoty

jenom pro k od nuly do

do n mínus jedna když budu počítat další budou se mi už zase periodicky opakovat

všecko dokážu krásně spočítat

když po do vám tady tylenty no vzorečky s podobně jako tomu bylo u fourierovy

řady

a neboj fourierovy transformace gray se ta měli šíp věci jenom fí integrálu nebo sumě

tak vidím že zase tady se mi tady vlastně ty vzorečky vypadají velmi podobně jen

nese

liší to

že

jednou tady dosazují u na tady k tady k tady n a tady jsem í

akorát vymění znaménko u toho je

a ještě tady mám normalizaci která jednu je tady jedna lomeno na tady není nic

ale tady pozor tady ty normalizace v různých definicích fourierovy fourierových řádka

občas vidíte že f

ve zpětné fourierově transformaci jedna lomeno a n a tady není občas to vidí té

obráceně občas vidíte že to je po bodu ale že tam jed odmocnina se na

b se tu

na by se tu

zájem ně v kompenzoval o takže ty varianty těch vzorečku abyste nebyli někde zmatení když

uvidíte jiné vzorečky které normalizuj inak různí autoři to

zavádění různě no

takže si ještě na naposled

tady dokážu všechno počítá dyž se počítá matný podíval na tele ste vzoreček díky tomu

že vlasně vypadá velmi podobně zase všecko dokážu spočítat dyž mi někdo dá koeficienty fourierovy

řady tohlensto zase není nic jiného ještě jo než nějaká navzorkovaná komplexní exponenciála

já dokážu spočítat zpátky

koeficienty

toho navzorkovaného signál

já ustaly s tím l s tím jim teka za či něco dělo a už

by moci dip

z navzorkovaný signál a když budu vědět že ten signál je periodický tak vezmu je

do periodu toho signálu

můžu si s toho spočítat nějaké koeficienty fourierovy řady jatek si řeknu třeba

já jsem tady měl nějakou nahrávku nějakou audio nahrávku a zruční mě tam na padesáti

hertze k zásuvka

tak si spočítám toho takovoule fourierovou řadu tech těch

to vzrušení na padesáti hercích mi tam vypadne jako nějaká čára f fourierově řadě nějaký

ten kofi cen bude velký a regulovaného nastavím na nulu

udělám zpětnou fourierovu řadu

dostanu čísla které si na zvuk ovce prostě přehraju protože to mě převede

signál zase na k na analogový signál a najednou jsem sou odstranil nějakém z učení

jsou čeni na padesáti herci o takže push se s tady s kým dá hrát

uši s tady stěna to můžete

u analyzovat si nějaký periodický signál

zrekonstruovat si zpátky poslechnout si to jak se to mění nebo si

udělat nějaký ekvalizovat or který

který

zesivím některé frekvence některé ty harmonické složky některé potlačí je tak dál

jak jsem říkal tak tady ten symbol toho sumování

tak jet předchozí vzorek svých znamenal

dycky sumování přes jednu periodu

takže

k mohlo být mohli moly ve sumovat přes kteroukoliv periodu ale nejčastěji kdy uvidíte vzorečky

napsané tímhle způsobem že

že prostě se jsou mu je přes tu první periodu takže se jsou mu je

od vzorku nula do n mínus jedna

ale na tom n tenzor k už b začínala další perioda takže většinou vidíte vzorečky

které jsou

které jsou zapsány tak to

aha a

teďka já jsem s

já jsem se vás na žil uši přesvěčit tady kdy z kde jsem tady motalo

rukou na tím že se tady něco začne opakovat že ty koeficienty fourierovy řady jsou

periodické

tady se to snaží teďka odvodit zase ještě jednou

a to tak že říkáme

protože tady tahle msta funkce to je přesně to co sem vám se vám snažil

dřít

protože tahle msta funkce začne je stejná když k nastavím ná

k plus

ke nějaká k jakákoliv konstanta g je krát

krát n to znamená k k

a jakýkoliv násobek když tady začnu do toho dosazovat když tady dosadím k nebo tam

dosadím k plus pen nebo tady za k dosadím k plus dvě n tak tady

ta komplexní exponenciála

tam dojde k tomu úvozovkách aliasingu začnu dostávat tu stejnou komplexní exponenciálu

a ona mi začne vykreslovat do značné dostávat i stejne komplexy exponenciály tady tím pádem

koeficienty nutně musí být musí se začit dycky opakovat

tohlencto z no si

a to se pořád snažíme ještě si o tady jo odvodit terra to že

to že tadle funkce je stejné jako tato funkce takže k to není říká zase

nic jiného než

pokud je signál reálný

tak

ten

pokud bude ten signál reálný a mi moc nechce ne uvažovat komplexní signa úplně stačí

že už tě koeficienty fourierovy řady jsou nějaké komplexní čísla dal samozřejmě celá tady ta

teorie se dál aplikovat i na to že si můžete představit že váš signály reálný

a budete dostávat

komplexní spektrum a zase z nějakého komplexního spekter a

když to spektrum nebude mi komplexně sdružené koeficienty tak budete dostávat imaginární signály o ale

my tady s tím letím nechce ne vůbec

na to nechceme ani pomyslet touž toužilo trošku mods takže

takže my budeme předpokládat že signály rány ji a s takovém případě v zas bude

platit push to co sme vidívali dřív

že když se podívám na hodnotu toho spek která na těch k

fourierovy řady pro k

a podívám se ná na a k mínus jedna tak ty hodnoty musí být komplexně

sdružené o to zase nám prostě vychází to že

já budu chtěje ten výsledný signál rekonstruovat

jsou čem komplexně sdružených komplexních exponenciál

takže když a sečtu dohromady tak se mi vy delší imaginární složky kdyby toto neplatilo

tak jsem i imaginární složky ne vyruší a budu dostávat právě komplexní signály

takže

zase na těch pozitivních a odpovídajících ne nej záporných k

budu dostávat komplexně sdružené složky

je jenže kvůli to může ten signál je periodický tak nejen na těch

nejen na těch

záporných budu dostávat komplexně sdružené složky ale když slot skočím o nějakou periodu dál a

pak se vrátím

o parse orku zpátky tak ty musí být taký komplexně sdružené leže to co já

tady teďka ukazuje na těch vzoreček svých

neříká nic jiného než že

ta když si udělám

dobře takže tady máme říká nějaký periodicky signál navzorkovaný

porad se bavíme u navzorkovaných signálech

je navzorkovaný periodický

takže dyž vím že navzorkovaný periodicky tak uživím že i spektrum bude

navzorkované periodické budu mi nějaké

disk fu koeficienty diskrétně diskrétní fourierovy řady buje tam konečný počet honí budou jake diskrétní

koeficienty a bude to periodické

a vidím že to spektrum které jsem s tou spočítá tohle zase by mělo připomínat

nějakou funkci x sinus x lomeno i ale

musí být kde si útlá musí se to opakovat

a vidím že

jestliže ten původní signál byl reálný tak

tady ten první koeficient musí být komplexně združený tady s tím souš

což vypadá že je protože

mají stejné ji mají stejnou stejným modul

ale maje měli by mít aha fázi maji nula takže to nás nezajímá

ale když se potom podívám

mají ne mají

aha not starych tom n sou případě dobře

tohlencto případě loni mají buďto fázi nula nebo mají fázi dvě pí co šíje cože

automaticky licky splněné že budou komplexně sdružené takže tady není moc s to řešit r

kdybych ten obrázek kreslili já tak tady tyhlencty koeficienty které jdou do

plus pí by šili do mínus pí aby bylo jasné že ten si kdo tady

tohlensto si můžete představit že všecko bude obrácené

na opačnou stranu a že tady tyhlencty fáze do u do pijí a tady tyhlencty

fáze by šly by vyšly do mínus pí

ale abych abysme zdůrazněny že jsou komplexně sdružené že mají opačně znaménko

ale posun plus pí nebo mínus pí se dostanete do toho stejného

do toho stejného místa

tak takže tyhlencty koeficienty jsou komplexně sdružené

ale navíc i já vím že

věci jsou periodické takže tenhlencten koeficient už musí být stejný jako byl ten první koeficient

pardon ten nemusí být komplexně sdružený k tomuto tento musí být komplexně sdružený k tomuto

protože já vím že ten to je ten stejný jako byl tento a tento je

ten stejný jako byl

tady tento

takže my jsme do teďka kdy jsme se dívali na fourierovu řadu tak mezi dycky

říkali ano máme tady ten tu stejnosměrnou složku a otto ho nám teďka lezou koeficienty

které jsou komplexně sdružené zatímco teti my ji u těch diskrétních signálu raději se vykašleme

nut na všechno co je záporné a místo toho si

vezmeme taghle jednu periodu

a budeme sedm budeme si budeme počítat budeme vlastně s počítat po diod transformaci nebo

to ment případě rekonstrukci dyby chtěl zrekonstruovat n signál tak si vezmu tady tyhlencty vzorky

fourierovy řady

a sníh budu rekonstruovat

ale já vidím

že tam pořád sou ty komplexně sdružené složky které z na se navzájem designát zájem

budou rušit

imaginární složky protože já pořád vím že

tato složka je komplexně sdružená této táhlé komplexně sdružená této a tak dál

já bych stejně tak s nemusel bral tyhlencty složky ale mohl si říct že začnu

odsud a pujdu

půjdu tady sem do poloviny a půjdu tady jsem do polovině ale

když budete dělat to toho tak ještě záleži na tom jestli máte sudý nebo lichý

počet vzorku protože někdy na ta jedné straně musíte vzít n

o jeden navíc z nebo jeden míň i aby abyste měli počet vzorku přesně takový

jaký se leze do periody takže nejednodušší řešení je potom

berme to vždycky od nultého vzorků

a skončeme

těsně před tím nejse nám začně opakovat perioda a tohlensto jsou ty koeficienty s kterými

budeme repre konstruovat

náš signál o

takže z

říkám to s novou protože když se podíváme tady na ty vzorečky které tech dostáváme

jako

k diskrétní fourierovu řadu

tak

tady by někoho mohlo zarazit přesně to co jsem říkal před tím že já když

je rekonstruuj ten signál tak dyž jsem o chtěla rekonstruovat těch stejnosměrné složky a t

první harmonické a té komplexně sdružené t mínus první harmonické a druhé harmonické a mínus

druhé harmonické abych ta měl všechny ji komplexně sdružené složky zatímco tady nemám nic

plus a mínus tady du odkaz rovná jedná do n mínus jedna o takže ne

beru ty

neberu ty negativní ale já vím že ty komplexně sdružené složky jsou tam pak i

protože já jeho utrhne beru

tuto a tuto ho tu a toto ale berou tuto a vím že tahle komplexně

sdružená toto

a vím že táhlé komplexně sdružen a

takže

v zavez cihla v je ten posuvný buffer toho že věci se věci se periodický

opakuji tak že já jsem už dívat na něco co je takhle komplexně sdružené nebo

na něco co je tady s tomhlenctom u okně je jde ty složky jsou komplexně

sdružené že to tam vždycky bude a že to vždycky

že tohlensto vždycky bude fungovat

poďme se teda podívat na nějaký

tady máme teka příklad eště

a k tomu len sou mu příkladu sme si rozložili terra obdélník tady na ty

lenci koeficienty a chceme si ze syntetizovat zpátky

ten původní obdélník

uděláme to takže použijeme

který vzoreček tento vzoreček

no takže máme ty full

koeficienty fourierovy řady z mezi spočítali pomocí toho

a teď nich zpátky se snažíme rekonstruovat ten

ten obdélník

a začneme to dělat tak že vždycky budeme sčítat

další harmonickou takže začneme od stejnosměrné složky

a pak tomu přidáme se podívám a dva kecám

nesmysly ale předpokládám že budeme dycky přidávat

tady se to váže že to mělo být

nad i jenom

přemýšlím jako jestli to jsou

r nebylo šest

my tady mi do tady ten a skládám

projekty

přemyšli na inak to tady jakého tady lepilo dohromady protože to jak by měla rekonstruoval

ten signál tady s těhlenctěch složek tak bych samozřejmě za stejnosměrnou složku a pak bych

vzal tohlensto odpovídá nějaké komplexní exponenciále tohlensto vodpovídá nějaké komplexní exponenciále

které já bych chtěl sečíst dohromady ja bych dostál nějákou harmonickou nějakou harmonickou složku harmonickou

složku na dva krát vyšší frekvenci ještě dvakrát vyšší frekvenci a tak dál

tady se dívám že

tvrdí že to skládá pro

conn nula jedna

dva tři že z že to skládá s těch

s těch prvních vzorků u

převýší co s si mám přes tady potě

by jem po těmi dvěmi sloupečky jestli to má vy imaginární a

reálná n tohlen sou mají být í jednotlivé já myslím že on to skládá že

tady je to skládané

protože

ještě jak protože

si nepřikláněl vy tu dělený ne

protože tomlectom případě

ty komplexně sdružené složky sou tady vůli to může své použili sudou funkci stejně

stejné prosím i to vlastně tady skládáme tady tylenty složky jsou v našem případě

musí to stejně skládat

musí dost stejně skládat ústě k vždycky s těch s dvou složených dohromady podle mě

to takhle dělat a to tady není řeky

to znamená

tady je to

tady ta první složka je podle mě prostě stejnosměrná složka tady tohlens tahlecta harmonická je

harmonická která

která odpovídá kosinusovce která je ale složená tady s těhlenctěch dvou harmonických složek o

ta další

je něco co je složeno tady s těhlenctěch kosinusovka která je složená tady s tělem

stěnu harmonických složek

to je vidíte že stejnosměrná složka by měla mi nějakou hodnotu

a sides nech devět tady ta druhá by měla mít nějakou hodnotu amplitudu

něco pět ale krát asi

něco přes osun krát dva předpokládám že tam bude

není je to tam

je tady

je tady vykreslena jak dyby nebyla násobená dvakrát takže to trochu

je tady tu bude šaška diaz na s na leže

tollens o sou ty jednotlivé složky ze který je to skládaný k skládané ho ta

stejnosměrná první harmonická druhá monic k třetí harmonická a tady vidíme co se děje když

tady tyhlencty harmonické teďka lip lepíme dohromady

takže vidíme že dostáváme něco stejnosměrného tady dostál dostaneme nějakou posunutou posunu s tou kosinusovku

a dyž tomu přičítáme ty další je další složky

tak se

dostáváme k něčemu co se víc a blít být sblíží k obdélníku

a rychle

když tam přičteme tu poslední harmonickou složku kterou jsme měli tak zle dostali ale úplně

na chlup přesně ten stejný signál který jsme

který sme do toho původně nalili o

takže vidíte že

a my sme udělali fourierovu transformaci s

stary

jako není to nic jiného než du kaz je ty vzorečky opravdu dělají dopředu v

a zpětnou fourierovu transformaci s toho l sem vyšil a rozložil jsem to ne nějak

jako fi centy

a teďka to s těch koeficientů můžu de konstruovat a přidávat tam vyšší a vyšší

harmonické rýže tam dám

těch vše s vše všech n

k které odpovídají kolik vzorku mám do jedné periody signálu tak jsem z rekonstruoval kompletně

ten

ten původní periodicky signál

tady je potom i takže tohlencto bylo tole jsou přibyl případná na analýzu takové hole

obdélníkového signálová skládali z sme skládali z ne obdélníky tady je možná tenle případ příkladně

o tři první protože to jeden jednodušší kde děláme harmonik kde když dáme analýzu

jenom harmonického signálu takže víme je zase že harmonický signál pro nás bude nějaká kosinusovka

taže se dá rozložit ná na dvě komplexní exponenciály takže ú d už hned u

o to k víme že tady tohlensto můžeme rozepsat tady

takhle na ty dvě komplexní exponenciály jakým pádem tím pádem už víme že tady tohlensto

musí být modula že tady tohlensto musí být fáze je té jedné jediné harmonické složky

která se s tom našem signálu ve vyskytuje protože ji protože je tam je jenom

jedna kosinusovka

ale kdybychom teraz by nám to nedalo a použili

a kdyby do dybych kdy com tady na tohlensto pustili fourierovu transformaci tak nutně

fourierovu řadu pro diskrétní signály tak nutně do moc musíme dostat to že všechny

všechny složky jsou nulové jenom ta jedna složka je nenulová že dostaneme nějakou amplitudu a

počáteční fázi pro tu jednu harmonickou složku které tam zastoupen

když budeme zpětně deka ten signál rekonstruovat tak neděláme nic jinačího než že je zase

téhlens p sumě tam bude jen ten jen ten jeden

pro ty dva a komplexně sdružené

koeficienty které budou nenulové kterou povídejte jedné jediné harmonické složce

tím můžeme zase z adding ze syntetizovat n původní signál prostě jenom tím zpětným složením

tak jak je to tady napsán tady

s tímhlectím stejní

takže pouze ten

tomle jsem případě pouze ten první s

jestliže máme prostě harmonicky signál ve kterém je jedna perioda té kosinusovky tak ten první

koeficient fourierovy řady a ten mínus první

cože je taky to stejné jako

n mínus první

budou nenulové to budou ty s sobě komplexně sdružené složky

a s těm můžeme ten signál terra ze konstruovat a to je tady ukázaná na

tomle obrázku že to známe periodický signál ten periodicky signál má nějakou periodu u

patnáctou l případě je tam patnáct vzorku do periody

a vidíme že když my sme s tou dělali fourierovu řadu tak hout jenom

ten první a mínus první koeficient budou nenulové fázi vidíme že ty fáze sou obrácené

takže jsou sobě komplexně sdružené

a zase vidíme že když vemete první a mínus první tak je to stejné jako

kdyby jsme vzali první a

tohlensto je patnáct takže první a čtrnáctý

musíme dostat

musíme dostat i sobě komplexně sdružené s

samozřejmě kdybych tady s tohlenc tělo ho

stolem s toho spekter a ne konstruovat n signál logicky okamžitě dostávám

dostávám kosinusovku protože to spektrum měnit neříká nic e na čího dneš že jí je

tam zahrnutá jenom jedna kosinusovka

tady tahle mzda čára

prostě ta lens začát na tom prvním elementu mě neříká nic jiného

nejš že vtom signál je za zastoupen jedna jediná kosinusovka kterák mít ne

právě přesně jeden krát

za jí za tu jednu periodu toho signálu která je

patnást patnáct vzorku

tak tady jsme na konci

první přednášky

ještě máme

asi půl hodiny času

pod ním se o sim

jak ste živý chcete další pětiminutová přestávku nebo

nebo jedem ještě dál

jedem ne o tak poďme no

tak teď z takže teď sme se bavili

o diskrétní fourierově řadě takže u jsme si říkali

když budu mít diskrétní signál a ten signál bude periodicky tak já usni zkus m

schopny spočítat

když bude mít periodu deset vzorků tak jsem s okny spočítat deset nějakých čísel v

ve fourierově řadě a zase se je deseti čísel dokážu spočítat u jednu periodu tech

se začneme bavit o fourierově transformaci takže nás bude zajímat i že budeme my

diskrétní signály ale ty nebudou

periodické ty budou mít

zase několik vzorku ty budou my třeba zase deset vzorků a já zase budu chyt

spočítá nějakých deset

čísel nějaké fourierovy řady

ale

mám tady teďka ten problém s tím že se de že vím že ten signál

není periodicky že té vlastně samé nuly pak je tam několik vzorku a pak uspat

zase budou same nuly

a já s zase chci tady simula signálem být schopny schopný pracovat takže o pro

s tím s otter periodicity

nicméně zjistíme že

že vlastně začneme používat n stejný aparát takže nám to bude že nám to bude

stačit

že budeme používat poplatně stejné vzorečky jako z medika používali na tu diskrétní fourierovou řadu

tak té diskrétní fourierově řadě je

byl tak tady ze říká že tam zbyly jeden problém a že to je nekonečná

délka

signálu nekonečná délka to vypočteného spekter a

ale zase

ona je ona tam je s

periodická takže

stejně nám stačí spočítat jenom těch pár vzorku ste jedné periodě

jak sem říkal ano diskrétní fourierova

transformace teďka nám bude transformovat posloupnost delky n najednou posloupnost velký a

ale vtom n okamžikům nepředpokládáme že nutně by ten ta posloupnost je lady periodická spiš

se tváříme

že

je všude nula jenom těch n vzorků je nenulových

my tu diskrétní fourierovu

transformaci

budeme ty k a post počítat následujícím způsobem my vlastně to celé ošidí meta k

že si zavedeme periody zvaný signál takže řekneme my máme de původní signál delky r

my ho teďka periody z je takže ho

tady tím našim operátorem začneme opakovat kolem dokolečka

a když o takle na opakujeme tak normálně spočítám koeficienty diskrétní fourierovy řady

takže

tak to takto codd co to je jako cosco jsme to tady vymysleli a tak

jako dyž í lišíme se naučili a byzme si to zkrátili jsme se naučili počítat

diskrétní fourierovu řadu tak z ve si tady jenom prostě zperiodizovat ji signál a budeme

počítat o stejně no tak co je tady na tom nového no právě

to nové bude nové bude to že

že když je takhle udělám tak vlastně asi nebudu počítat

to co bych to co sem chtěl skutečně spočítat

já se říká že už třeba u té diskrétní fourierovy řady

já mám tempera dycky signál já si dokážu převez do kofi centů fourierovy řady a

pak s tím nějakým způsobem operovat zesilovat zeslabovat nějaké frekvence tím že posiluju zeslabují nějaké

harmonické ale já celou dobu počítam s tím že ten signál je periodicky takže

takže

věci se mi nijak budou projevovat a budou ně se nějak projevovat z jedné periody

do druhé periody

já jestliže mám teďka nějaký signál který vím že to je

těhlenctěch sto vzorků

ale já si ho na periody rozdílu

a teďka začnu

na tímle signálem dělat nějakou konvoluci a tu konvoluci začnu dělat takovým způsobem že mělas

ně rozmazává ten signál z jedné periodě do druhé periody

tak

tak co já dělám já vlastně už n opravím jenom ten svůj signál těch n

vzorků já s obrátím signál který by já opravím takový signále který by byl ten

moto obrábění by bylo správné pouze vtom okamžiku kdy by ten signál do periodický já

se začínám s tím signálem pracovat jako s periodicky malé ve skutečnosti s tím bych

chtěl

obrábět ten

ten původní neperiodický signál

fajn mít vy stary tohle si musíme bit vědomí a mu už začneme tady tyhlencty

problémy řešit o něco později ale poďme si teďka za zavést jenom tady tu terminologie

poďme si zavést tady ten náš tady ten náš aparát a poďme začít tady ty

problémy které

které začnou vy vstávat to že já vlastně používam aparát který funguje pro

periodické signály ja já ho začnu používat pro neperiodické signály

poďme ty problémy začit identifikovat později ale poďme si teka ten aparát tímto způsobem zavést

takže poďme si zavést že

my ve skutečnosti zavedeme diskrétní fourierovu transformaci

kterou chceme řešit jinak periodické signály

ale zavedeme si takže prostě vezmeme náš původní signál ten zperiodizujeme

normálně na pro do aplikujeme

ty stejné vzorečky které sme měli teka pro fourierovu řadu

navíc eště aby nám to nestačilo tak protože původní fourierova řada nám dal periody cosi

periodického

tak tady si to ještě jenom odřízneme necháme si jenom jednu periodu toho

toho výsledku o takže děláme jakési možná vtom to okamžiku nesmyslné operace

ale časem uvidíme že nám to

že nám to k čemu si

dobré bude

tak takže to mens tom

tomhlenctom nulu tady máme vzorečky pro fourierovu řadu

no furt pro oboje

jako že pro fourierovu transformaci ale vidíte že tady ty vzorečky vlastně sou furt stejné

že pack pořád a stejná

stejné vzorečky for i pro fourierovu řádu

jenom se tváříme že vtom l okamžiku k a

a může opravdu nabývat hodnot jenom nula až n mínus jedna a n může taký

nabývat hodnot nula že n mínus jedna a všude jinde předpokládáme že jak ten jak

ty koeficienty fourierovy řady tak ty koeficienty toho původního signálu sou prostě nulové a

i e

vy by ne tak je vynuluje takže

takhle sme si prostě zavedli diskrétní fourierovu transformaci

nic nového ty stejné vzorečky

jen mám m

jen máme i

ještě jednou vlastně když sem podíváme my jsme kdys ve počítali tady tu fourierovu řádu

tak z nepoužívali tenlencten vzoreček tím z je sme říkali ta suma de přes jednu

periodu ho takže tady já se tvářím ano tenle signál má jenom n vzorků

ale použiju ten stejný vzoreček takže vlastně dělám to stejny jak dybych analyzoval

periodicky signál pro fourierovu řadu tím že jsem šel i přeženu periodu

spočítám to úplně

úplně stejně spočítám uplně stejné spektrům akorat cetek a tvářím že na ní periodické a

ale spočítám ty stejné čísla

tak kdy i pokud by na zase z zajímalo tady takové ty nesmysly kolem normovaných

frekvencí a kruhový normovaných kruhových frekvencích a všecko a jak to máme před port

přepočítávat

tak

tady jsi potom musíme uvědomit že těch

n vzorků je pravidelně rozmístěno odtud

nula až skoro do vzorkovací frekvence

a to skoro znamená

že ten

další entý vzorek by vlastně odpovídal

odpovídal vzorkovací frekvenci takže vzorkovací frekvence by mi z vzorkovací frekvence

by odpovídala hodnotě n

ale

my u už šli

my ušní někdy když í když budeme nastávat k arit tomlectom vzorečku

budeme nastávat k s tohlensto vzorek mělo tady pro budeme se dívat na kofi tady

lenci koeficienty a nastavili byzme k k na n tak to by bylo vlastně to

kávy odpovídalo t

t normované

frekvenci promovaného úhlové frekvenci které by

která by odpovídala vzorkovací frekvence ale my už nikdy k na ne nastavíme protože k

budeme nastavovat na jenom na

nula až n mínus takže

n b odpovídalo

normované vzorkovací frekvenci

my máme jenom od nula do n mínus jedna

takže potom tady ty vzorky k x k ty vzorky té naši fourierovy transformace zase

to budou obecně jaké komplexní

komplexní čísla hodnoty v pozorky fotrovi transformace

budou

rovno budou normované ty normované frekvence budou odtud

jsou myslí aha k

jasně v že budou

že budou k ty hodnoty prostě pro různé k budou k lomeno n

ta nejvyšší bude n mínus jedna lomeno pen

normované frekvence je no vynásobíme dvě pí obyčejné frekvence budou zase to stejné ale dá

sobíme frekvencí obyčejné kruhové frekvence

budou to stejné ale musime na působí dvě pí jeff takže

zase je to jenom něco co si musíme uvědomit že dyž uvidíme teďka a nějaké

spektrum a dostaneme nějaké čáry na nějakých k tak si musíme uvědomit kdyby mě zajímala

a jaká je to terra vlasně v jaké frekvenci to teďka odpovídá

tom

tom mem původním signálů když budu chtít vědět jaké skutečné frekvenci to odpovídá udělám k

lomeno r vynásobím to vzorkovací

vzorkovací frekvenci a dostanu

dostanu tu frekvenci která tech které tak čára odpovídá vidím když udělám zase nějakou analýzu

ú vidím tollens odpovídá

takle vysoké frekvenci top to tam bude asi tenčí null nebo do tam asi bude

ta basa tak je tady fi to

tady si utlumí novou přída dyž budu k nějak ekvalizovat dany si my

ta který máme zas nějaký příklad posunutý obdélník

chceme s toho počítat

chceme stolem s tou počítat fourierovu transformaci no tak neděláme nic jinačího než co u

už sme tady viděli vtom

tom případě který ve měli předtím prostě zase senator budeme dívat jako na

na fourierovu ú

a my si to klouže ano tohlensto u že ten tohlen sou že ta fourierova

řada takže

když z ne pude v a transformace

již ne před tím měli fourierovu transformaci tak sme si tohlensto akorát vykresli několikrát opakované

doleva doprava

spočítali za úplně přesně do stejné

jenom sme si všechno ví kousli takže z nezalijí šesnáct do rukou zobrazuje ve si

šesnáct vzorku

tady jsme si v kousli šestnáct do roku toho spekter a tohlensto zase odpovídá nějaké

stejnosměrné složce tohlento zase odpovídá

jakési

nejnižší harmonické složce kterou teďka dokážeme od o po psát

ten poslední odpovídá a

to je komplexní sdružené složce je o té hoška tak dál o takže zase dostávám

a zase dostává no modul obou a fázovou charakteristiku to stejné

stejně spočítané jenom se díváme na tu jednu periodu a u se nedívat šušká

se nedíváme že b se někde něco opakován

a zase meleme to všech stejné kolem dokolečka

zase máme stejne stejné spektrum ale zase si to můžeme v kreslit

v normovaných frekventovanou normovaných frekvencí normálních frekvencí normovaných úhlových normálně kulových frekvencích

li bychom vědět jak to dokažme přepočte

tady je zase příkladná

na harmonicky signál a logicky kdy že to

to je samozřejmě příkladná jednu periodu harmonického signálu protože harmonicky signál byzme si mysleli že

periodicky ale my deka ne pracovně s periodickým signál e n my se tváříme že

pracujeme jenom z jednou perry jedou harmonického signálu nicméně zase na to použijeme tu stejnou

matematiku jako by s použili ná

nách fourierovu řadu

a co nám tudíž vypadne je tady jedna čára a jedna čára tam na konci

které jsou zasej tiff sobě odpověď si odpovídající komplexně sdružené složky a ty zase vyjádřují

to že je tam je právě jakási jedna že vtom mem signálu je právě no

jedna perioda

jednoho signálu

kdyby tady nebyla tato čára a ta poslední ale byla čára tady a byla čára

tady

tak jak by vypadal jak vypadal ten signál které ubit odpovídalo

přesně na k takže

to s něco podobného ale kmitnou by mě to tam

tak je víme ten zákmit jednou tak by mě do tam akorát za k mi

to dva krát

sto stejné zase jenom různé normování chtěli

kolik máme

čas nerozumím

já přemyšlím jestli

jo poďme

poďme ještě té uděla tady těch pár je celá lidu

tomto se za

takže

tady máme teďka nějaký popis nějakých o vlastnosti vlastností diskrétní fourierovy transformace

prostě přesně to co sme viděli že platí u fourierovy řady

protože nepočítáme nic jiného neštítil ty požíváme ty stejné vzorečky pro jeho řadu zase bude

platit i tady takže zase kdy se podíváme na ten kátý vzorek a na ten

vzorek který je n mínus k tak ty musí být komplexně sdružené

teď už žádný mínus první nemám protože sme řekli že sme se omezili jenom na

ten interval odtud

nula do

do k l prostě zase říkáme teda že tento a ten první a

n mínus první a n mínus druhý a druhý že ty musí být

že ty musí být komplexně sdružené není to nic není to nic jiného

stary c akorát říká že ten důl ty by měl být komplexně sdružený s n

tým ale n ty už neexistuje ale ten nultý většinou stejně bývá reálný pro

pro reálné signály

říkáme tady zas ten nultý klasický odpovídá

klasický ho spočítáme ták

že vlastněnou sečteme jednotlivé vzorky odpovídá to nulté harmonické složce cože nějaká jenom konstanta

není to nic vlastně ten u tý není cíl a č než nějaká střední hodnota

ze signálu takže no a zajímá nějaká stejnosměrná složka střední hodnota jak je celkově signál

posunutý

pokud i je n sudé číslo

tak nám musí platit

to že ten

před na tím přemýšlím co

že s že tale no je jasně že

že ten tohle dary z má to ven prostřední vzoreček protože ten vzoreček vzorek polovině

je taky vzorek který je n mínus ta polovina což i což znamená že ten

vzorek musí být komplexně sdružený sám k sobě

jak může být nijak nějaké číslo komplexně sdružené samouk sobě

russell přečetl to znamená že to číslo musí být reálné že ten reálné čísla sou

komplexně sdružená x a my k sobě

mají ob obrácenou

wish změníte znaménko u od nulové imaginární složky dostanete to stejné

takže

po je to je zase

se myším jestli tady máme

sude tady máme sudé vo takže prostě do tady by jsme se dostali že toto

musí být komplexně sdruženému to toto

toto k tomu druhému

ke třetímu čtvrtému pátému a tady by nám

a teď sem se u té b sem se přepočítal někde na půlce musí vzniknout

aha

půlce vize měli mít zurek měli b měl by být vlastně důl t

tady je ten by měl být reálný a tady ten

polovině

ten protože ten nemá vlastně ty žádný ten komplexně sdružený ten co je přesně uprostřed

o není přesně uprostřed o obrázku vlastně

u zase znovu tenle je reálný tenle odpovídá poslednímu předposlednímu

před předposledním ú

tady tomuto a kdyžtak dle půjdu tak dojdu tady k tomu l vzorku který musí

být komplexní some se sebou spadl komplexně sdružený some se sebou

jinými slovy musí být zase reálný

takže když máme

lichý počet vzorku tak ten první bývá reálný ale pak tady dostanu nějaké dva uprostřed

které jsou po řádce sebou komplexně sdružené

případě že mám sudý vzor počet vzorků první bude reálný k tady ten

uprostřed bude reálný a ostatně budou komplexem s

bude nám zase platit

bude nám zase platit to co to co uzle viděli ji pro ty

spojité signály takže pro fourierovu transformaci a pude diskrétní spojů transformaci

a stejně tak pro diskrétní fourierovu řadu bude platit rýnem linearita takže když udělám diskrétní

fourierovu transformaci jednoho druhého signálu

tak

když

pích eventuálně udělal váhovaný součet těch dvou signálu tak je to stejné jako dybych udělal

a udělali fourierovu transformaci tak je to stejné vy bych udělal v r stejně váhovaný

jsou čet

fourierových transformaci

případě že budu mít

posunu to r posloupnosti

tak tady je to trošičku s složitější jestli si pamatujete tak kdy jsme měli

spojitých signálu posunu to posloupnost

tak se nám spektrum násobil o jaký svým ten a mínus jej nějaká nějaké číslo

které odpovídalo tomu posunu

což neříkalo nic jiného než že to sklopil o fázovou charakteristiku tech tady vidíte že

dochází k něčemu podobnému

akorát si tady musíme být musíme zase vědět k čemu tady dochází

přitom rotování takže ten když budeme nějak posouvat signál tak mi ho ve skutečnosti neposouvám

o protože l zase jenom cyklicky rotujeme protože i když se ty říkáme že děláme

diskrétní fourierovu transformaci je tak ve skutečnosti si ten i signál periodizuje

takže o musíme správně z rotovat spočítat diskrétní fourierovu transformaci s toho a to mu

ještě dodatečně náklo pět na kolo pit fázovou charakteristiku

s tím že to na klopení zase bude

poměrné k tomu zpoždění je to stay na jinak je to stejná věc kterou ze

viděli v u spojitých signálů takže

zase

posunutý signál

tomle případě pozor musím ho nějak

pře musí musím provést akci tramvaj

za prvé a za druhé ještě u tón na kopím fázovou charakter

takže todlensto je

tady je příklad právě

tady je příklad a nějakého toho u fázově posunuté ho

signálu kde mám kosinusovku a kosinusovku které fázově posunuta

vidím že ta modulová charakteristika mě víde stejně holt já vtom

tom signálu pořád mám zastoupeno u tu stejnou harmonickou nicméně tady

ta fázová charakteristika je

tady všude nula protože ta harmonická sta kosinusovka tady měla nulovou počáteční fázi

ale díky tomu že jsem to nějak fázově posunul tak tady jsem ně ta fázová

charakteristika nakládky zase protože nemám žádnej n vzorky tak tady mám všude nulu ale tady

tyhlencty

kluci mi vylezli nahoru dolů a ale

kdybych ta měl víc harmonických složek tak bych viděl že

že tady ty složky sally prostě takhle nějak na kloub je na klopy se mi

víc s podle toho jak moc signál osu

té poslední ž co tady máme

post se obráz kruhové

obraz kruhové konvoluce takže

my jsme si zavedli tu kruhu konvoluci já jsem říkal že pane ní přesně to

co byzme chtěli nicméně když budeme dělat

diskrétní fourierovu transformaci tak jak jsme si zavedli

tak zase když si uvědomíme že ta diskrétní fourierova transformace nepočítá nic jinačí dneš nešpor

i rovna řada

tak

bude platit to že

když vynásobím s spekter tak to odpovídá tomu stejnému jako dybych udal kruhovou konvolucí mezi

mezi těmi originálními signály

zase představte si co kdyby ty originální signály byly

periodické tak já bych opravdu mohl novo tím řekněme jedem byl periodicky a ten druhý

byl nějaká impulsní charakteristik

znovu k dyž já budu my tedy jeden signál periodicky tak mužu s toho papírku

tak zle kolem dokolečka pořád číst periodu toho signálu na tom druhem paty jakou ja

mám napsanou tu s

tu impulsní odezvu

já sto mens tom případě

vydělal konvoluci zase tím že otáčím potřebu ty papíry k do nekonečna ji otáčím a

počítám výsledek tady takovádle konvoluce tak by mi vyšlo něco co opravdu odpovídá tomu buď

vyšlo by mi to stejné jako kdybych si tady ten jsme signál

periodicky na opakovalo od nekonečna do nekonečna a teďka dělal tu lineární konvoluci pro se

jenom jel takhle svým pulzní odezvou posouvá to potřebou a dělali nární pollute já se

říkal tady nární konvoluce

odpovídá k tomu co b bylo skutečné filtrování takže já když udám tu kruhovou konvoluci

tak vlastně filtru ju

ten periodicky signál

ho já když budu dělat kódovou konvoluci tak výsledek který já s toho budu dostávat

s kruhové konvoluce bude ten stejný jako u dybych filtrová lod viděla tady tu konvoluci

s periodickým signálem a jako kdyby chtěl trval periodický signál takže já když

vynásobím dvě spekter diskrétní teďka spekter

tak dostanu to jak by vypadal

ten signál dyby byl periodicky a já ho profiltrovat tady takový filtrem ale to nutně

není to stejně

jako kdybych filtrová byl

klasických signál ale poďme si do teda pamatovat

když udělám diskrétní fourierovu transformaci dvou signálů a ty spekter a vynásobím

je to stejné jako kdybych dělal kruhovou konvoluci a

můžeme si pamatovat že je ta diskrétní konvoluci kovová konvoluce opravdu zase kdybych chtěl zatím

vidině co reálného tak to odpovídá

filtrováním

nějakým fir filtr o kterém se budeme zase dál bavit

filtrování

periodického signálu ale já do budoucna bych chtěl tak ji být schopni ji

filtrovat neperiodicky signál ten který začne a skončí a to budeme muset hoc řešit

ještě ne nějakými ji obezličky mi takže

tady je tohlencto je zase no

při kaja mám tady ty příklady nejraději kdy jsou tady jenom takhle pár koleček a

většina těch čar ještě

je hned

snaž na začátku na konci takže ta vlastně ve skutečnosti nic z není vidět ale

tady tenle příklad vypiji nám měl

ukázat

jak seděla kruhová konvoluce ja vlasto necham dešifrovat za domácí u ú

asi to s

unk nemec tady

veme to tady vy se začněte tříště bavit no

dalších

Signály a systémy - přednáška 8.

2013

Lukáš Burget (Speech@FIT)